第三章 序列算子与灰色序列生成

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1、第三章序列算子与灰色序列生成3.1引言灰色系统理论的主要任务之一，就是根据社会、经济、生态等系统的行为特征数据，寻找不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系与变化规律。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程。事实上，研究系统的行为特征，得到的数据往往是一串确定的白数，我们把它看成是某个随机过程的一条轨道或现实，或是看成灰色过程的白化值，这并没有本质上的区别。如何通过系统行为特征数据研究其发展规律，不同的方法思路也不一样。随机过程是以先验概率为出发点，研究数据的统计规律。这种方法是建立在大量数据的基础上的。但有时候，即使

2、有了大量的数据也未必一定能找到统计规律。因为概率论或随机过程中研究的典型分布是十分有限的，对于非典型的分布过程（如平稳过程、高斯过程、马尔可夫过程或白噪声过程等以外的分布过程），往往难以处理。灰色系统是通过对原始数据的挖掘、整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，我们称为灰色序列生成。灰色系统理论认为，尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘它和利用它。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。例如，已给原始数据数列它没有明显的规律性。将上述数据作图如下：xx3X=X(0

3、)6X=X(1)2412001234k1234k图3.1.1图3.1.2由图3.1.1可以看出，的曲线是摆动的，起伏变化幅度较大。对原始数据做一次累加生成，将所得新序列记为，则已呈现明显的增长规律性，如图3.1.2所示。3.2冲击扰动系统与序列算子一、冲击扰动系统预测陷阱冲击扰动系统预测是一个历来令预测专家棘手的问题。对于冲击扰动系统预测，模型选择理论也将失去其应有的功效。因为问题的症结不在模型的优劣，而是由于系统行为数据因系统本身受到某种冲击波的干扰而失真。这时候，系统行为数据已不能正确地反映系统的真实变化规律。定义3.2.1设为系统真实行为序列，而观测到的系统行为数据序列为X

4、=(x(1),x(2),…,x(n))=(x(0)(1)+ε1,x(0)(2)+ε2,…,x(0)(n)+εn)=X(0)+ε其中ε=（ε1，ε2，…,εn）为冲击扰动项，则称X为冲击扰动序列。要从冲击扰动序列X出发实现对真实行为序列为X(0)的系统之变化规律的正确把握和认识，必须首先跨越障碍ε。如果不事先排除干扰，而用失真的数据X直接建模、预测，则会因模型所描述的并非由X(0)所反映的系统真实变化规律而导致预测的失败。冲击扰动系统的大量存在导致了定量预测结果与人们直观的定性分析结论大相径庭的现象经常发生。因此，寻求定量预测与定性分析的结合点，设法排除系统行为数据所受到的冲击波干

5、扰，还数据以本来面目，从而提高预测的命中率，乃是摆在每一位预测工作者面前的一个首要问题。本节的讨论围绕一个总目标：由X→X(0)展开。一、缓冲算子公理定义3.2.2设系统行为数据序列为X=(x(1),x(2),…,x(n)),1。若"k=2,3,…,n,x(k)x(k1)>0,则称X为单调增长序列；2。若1。中不等号反过来成立，则称X为单调衰减序列；3。若存在k,kˊ{2,3,…,n},有则称X为随机振荡序列。设称为序列X的振幅。定义3.2.3设X为系统行为数据系列，D为作用于X的算子，X经过算子D作用后所得序列记为称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以进行

6、多次，相应的，若D1,D2,D3皆为序列算子，我们称D1D2为二阶算子，并称为二阶算子作用序列。同理称D1D2D3为三阶序列算子，并称为三阶算子作用序列，等等。公理3.2.1（不动点公理）设X为系统行为数据系列，D为序列算子，则D满足x(n)d=x(n)不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列中的数据x(n)保持不变，即运用序列算子对系统行为数据进行调整，不改变x(n)这一即成事实。根据定性分析的结论，亦可使x(n)以前的若干个数据在序列算子作用下保持不变。例如，令x(j)d≠x(j)且x(i)d=x(i)其中j=1,2,…,k-1;i=k,k+1,…,n.公理3.2.2

7、（信息充分利用公理）系统行为数据序列X中的每一个数据x(k),k=1,2,…,n都应充分的参与算子作用的全过程。信息充分利用公理限定任何序列算子都应以现有的序列中的信息为基础进行定义，不允许抛开原始数据另搞一套。公理3.2.3（解析化、规范化公理）任意的x(k)d,(k=1,2,…,n),皆可由一个统一的x(1),x(2),…,x(n)的初等解析式表达。公理3.2.3要求由系统行为数据系列得到算子作用序列的程序清晰、规范、统一且尽可能简化，以便于计算出算子作用序列并使计算易于在计