复变函数与积分变换复习重点.doc

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1、复变函数复习重点(一>复数的概念1.复数的概念：，是实数,..注：一般两个复数不比较大小，但其模<为实数）有大小.2.复数的表示1）模：；2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为<多值函数）；主值是位于中的幅角。3）与之间的关系如下：当；当；4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。5）指数表示：，其中。(二>复数的运算1.加减法：若，则2.乘除法：1）若，则；。2）若,则30/31；3.乘幂与方根1）若，则。2）若，则<有个相异的值）<三）复变函数2．复初等函数1）指数函数：，在平面处处可导，处处解读；

2、且。注：是以为周期的周期函数。<注意与实函数不同）3）对数函数：<多值函数）；主值：。<单值函数）的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解读，且；注：负复数也有对数存在。<与实函数不同）3）乘幂与幂函数：；注：在除去原点及负实轴的平面内处处解读，且。4）三角函数：在平面内解读，且注：有界性不再成立；<与实函数不同）30/311）双曲函数；奇函数，是偶函数。在平面内解读，且。<四）解读函数的概念1．复变函数的导数1）点可导：=；2）区域可导：在区域内点点可导。2．解读函数的概念1）点解读：在及其的邻域内

3、可导，称在点解读；2）区域解读：在区域内每一点解读，称在区域内解读；3）若在点不解读，称为的奇点；3．解读函数的运算法则：解读函数的和、差、积、商<除分母为零的点）仍为解读函数；解读函数的复合函数仍为解读函数；b5E2RGbCAP<五）函数可导与解读的充要条件1．函数可导的充要条件：在可导和在可微，且在处满足条件：此时，有。2．函数解读的充要条件：在区域内解读和在在内可微，且满足条件：；30/31此时。注意：若在区域具有一阶连续偏导数，则在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且

4、满足条件时，函数一定是可导或解读的。p1EanqFDPw3．函数可导与解读的判别方法1）利用定义<题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件<函数以形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解读函数的四则运算定理。<函数是以的形式给出，如第二章习题3）<六）复变函数积分的概念与性质1．复变函数积分的概念：，是光滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2．复变函数积分的性质1）<与的方向相反）；2）是常数；3）若曲线由与连接而成，则。3．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：；<常用于理论证明）

5、2）参数方法：设曲线：，其中对应曲线30/31的起点，对应曲线的终点，则。<七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本定理：设在单连域内解读，为内任一闭曲线，则2．复合闭路定理：设在多连域内解读，为内任意一条简单闭曲线，是内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以为边界的区域全含于内，则DXDiTa9E3d①其中与均取正向；②，其中由及所组成的复合闭路。3．闭路变形原理：一个在区域内的解读函数沿闭曲线的积分，不因在内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过使不解读的奇点。RTCrpUDGi

6、T4．解读函数沿非闭曲线的积分：设在单连域内解读，为在内的一个原函数，则说明：解读函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。30/315。柯西积分公式：设在区域内解读，为内任一正向简单闭曲线，的内部完全属于，为内任意一点，则6．高阶导数公式：解读函数的导数仍为解读函数，它的阶导数为其中为的解读区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于。7．重要结论：。<是包含的任意正向简单闭曲线）8．复变函数积分的计算方法1）若在区域内处处不解读，用一般积分法2）设在区域内解读，l是内一条正

7、向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，l是内的一条非闭曲线，对应曲线的起点和终点，则有3）设在区域内不解读30/31l曲线内仅有一个奇点：<在内解读）l曲线内有多于一个奇点：<内只有一个奇点）或：<留数基本定理）l若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算。<八）解读函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：若二元实函数在内有二阶连续偏导数且满足，为内的调和函数。2．解读函数与调和函数的关系l解读函数的实部与虚部都是调和函数，并称虚部为实部的共轭调和函数。l两个调和函数与构成的函数不一定是解读函数；但是若如

8、果满足柯西—黎曼方程，则一定是解读函数。3．已知解读函数的实部或虚部，求解读函数的方法。30/311）偏微分法：若已知实部，利用条件，得；对两边积分，得<*）再对<*）式两边对求偏导，得<**）由条件，，得，可求出；代入<*）式，可求得虚部。2）线积分法：若已知实部，利用条件可得，故虚部为；由于该积分与路径无关，可选取简单路径<如折线）计算它，其中与是解读区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部，根