中国古代数学中的算法案例_刘卫平

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1、《中国古代数学中的算法案例》教案一、教案背景1，面向学生：高中2，学科：数学3，课时：14，学生课前准备：通过阅读课本找出中国古代数学中的算法案例，结合案例，了解一下中国古代主要的数学家和数学著作。二、教学课题１．知识与技能目标：（１）了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；（２）通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化”的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。２．过程与方法目标：（１）改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化

2、的思维方法，提高逻辑思维能力；（２）学会借助实例分析，探究数学问题。３．情感与价值目标：（１）通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；（２）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。三、教材分析本节为为高中数学人教B版必修三中第一章第三节课，本节课的重点是理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法，难点是为算法编写程序。求最大公约数的更相减损之术教材对这个算法编好了程序，可让学生通过执行程序来学习体会此算法，注意让学生自主解释此算法的有穷性。欧几里得的辗

3、转相除法也是求最大公约数的有效算法，在实际问题中和抽象代数理论上都有重要应用，它的程序可参看本小节中的探索与研究，可鼓励学生自主编写程序。割圆术可以启发学生自己编写算法，和Scilab程序，试验证明，学生对此非常感兴趣秦九韶算法一方面，这个算法是目前仍在广泛使用（很多文献中称之为霍纳法）；另一方面，秦九韶算法给我们提供了一个比较算法优劣的机会，一般地说，在中学生的程度上比较分析算法的优劣不是容易的事，所以要利用这个机会让学生对算法的优劣性有所体会。四、教学方法通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决

4、具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。五、教学过程说明如何导入该课程，主要教学点的设计，知识拓展等。1、课前任务：请同学们自己查一些资料或者上网搜索一些中国古代的数学家以及其主要成就：【百度知道】中国古代数学家http://zhidao.baidu.com/question/303902234.html（提前认识一下中国古代的数学成就，激励同学们需要继续努力）2、课上探讨：同学们是否知道，我们在小学、初中学到的算术、代数，从记数到多元一次联

5、立方程组以及方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的，有的比其他国家早几百年甚至上千年，我们人民在长期的生活、生产和劳动过程中，创造了整数、分数、小数、正负数及其计算，以及无限逼近任意实数的方法，在代数学、几何学方面，我国在宋、元之前也都处于世界前列，更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色，走着与西方完全不同的道路，在今天看来这条道路仍然有很大的优越性。这条道路的一个重要特色就是“寓理于算”，也就是本节中所讲的要把解决问题“算法化”。下面我们举一些我国古代数学中算法的例子，让同学们更进一步体会

6、“算法”的概念，看一看中国古代数学家的伟大成就和显著特色。下面就中国古代的数学成就，结合算法的知识，主要了解一下下面三个方面的内容：求两个正整数最大公约数的算法、割圆术和秦九韶算法。一、求两个正整数最大公约数的算法：更相减损之术我们知道，如果整数a能被整数b整除，则b称为a的一个约数，一个整数可能有好几个约数。例如，12能被1,2,3,4,6,12整除，这6个数都是12的约数。16的有1,2,4,8,16这5个约数。我们看到2和4，既是12的约数，又是16的约数，2和4叫做12和16的公约数，公约数2和4中

7、，4最大，4称作12和16的最大公约数。如何找到一种算法，对任意两个正整数都能求出它们的最大公约数呢？下面给出我国古代数学家的一个算法，这个算法被称做“更相减损之术”。【百度百科】更相减损之术http://baike.baidu.com/view/1431259.htm（了解更相减损之术的出处，开拓知识容量）我们以求16,12这两个数的最大公约数为例加以说明。用两个数中较大的数减去较小的数，即16-12=4，用差数4和最小的数12构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，知道产生一对

8、相等的数，这个数就是最大公约数。整个操作如下：4是12和16的最大公约数。这种算法的道理何在？不难看出，对任意两个数，每次操作后所得的两个数与前两数具有相同的最大公约数，而两数的值逐渐减少，经过有限步地操作后，总能得到相等的两个数，即求得两数的最大公约数。例1：求78和36的最大公约数。解：这种算法，只做简单的减法，操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全是机械的运算，据此很容易编出程序，在计算机上运算，把这