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1、专题圆锥曲线（求轨迹方程）求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)＝0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入转移法（相关点法）：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．1．一个区别——“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的．前者只须求出轨迹的方程，标出变量x
2、，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据．2．双向检验——求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．考向一直接法求轨迹方程【例1】 已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．【解】 (1)由题意可知，直
3、线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．(2)①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)．④当λ＜－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．【对点练习1】已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直
4、线AB的垂线，垂足为N.若2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是( )A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【解析】以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a,0)，B(a,0)，则N(x,0)．因为2＝λ·，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，当λ＝1时，是圆的轨迹方程；当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程；当λ＝0时，是直线的轨迹方程．综上，方程不表示抛物线的方程．【答案】 C考向二定义法求轨迹方程【例2】已知两个定圆
5、O1和O2，它们的半径分别是1和2，且
6、O1O2
7、＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．【解】 如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由
8、O1O2
9、＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有
10、MO1
11、＝r－1；由动圆M与圆O2外切，有
12、MO2
13、＝r＋2.∴
14、MO2
15、－
16、MO1
17、＝3.∴点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝
18、.∴点M的轨迹方程为－＝1.图881【对点练习2】如图881所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．(1)△PAB的周长为10；(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．【解】(1)根据题意，知
19、PA
20、＋
21、PB
22、＋
23、AB
24、＝10，即
25、PA
26、＋
27、PB
28、＝6＞4＝
29、AB
30、，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)．(2)设圆P的半径为r，则
31、PA
32、＝r＋1，
33、
34、PB
35、＝r，因此
36、PA
37、－
38、PB
39、＝1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1,2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.因此其轨迹方程为y2＝－8x.图882考向三代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图882所示，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且
40、MD
41、＝
42、PD
43、.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直
44、线被C所截线段的长度．【解】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得∵P在圆上，∴x2＋2＝25，即C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程
