周益春-材料固体力学习题解答习题十.doc

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1、第十章热应力习题及解图10-1习题1、如图10-1所示，将一圆锥体固定在两壁间，计算温度由升高到时所产生的压缩热应力。解：设圆锥体棒温度升高为，其线胀系数为。在自由膨胀时，其伸长为。若假设壁给予的压缩力为P，而棒应缩短。各截面的粗细不同，因此各截面产生的热应力不同。与左端距离的截面AB处的直径为，。设AB截面的面积为，于是该截面上的压缩热应力为故AB处的应变为与AB距离微段的缩短了，因此整个棒缩短那么，于是热应力为最大热应力发生在截面积最小的左端，为。习题221、如图10-2所示，两根材料和长度都不相同的平行棒，它们的一端各自被固定，而

2、另一端连接在刚体板上可以一起轴向活动，通过弹簧受到另一壁的反作用，设两棒分别从最初的无应力状态下温度升高了和，试计算两棒中的热应力。解：假定，则棒1的自由膨胀量为，而棒2的自由膨胀量为。棒2自由膨胀时伸长量大，故棒2除自由膨胀外，受到压缩而缩短，因压应力的缩短量为棒1：棒2：图10-2，其最终伸长量为。而棒1除自由膨胀外，还因相应拉应力的伸长，其最终伸长量为其中中包含了应力符号。因右端连接在刚体板上一起轴向活动，两棒的总伸长量应相等，即（a）设弹簧的弹性常数为，则其压缩力为，故有（b）可求得讨论：（1）若，弹簧非常柔软的情况下，刚体板仅

3、起连接作用，此时21再假设，则。（2）若，弹簧不能伸缩，即为全约束下（即为上题情形），此时对于，以上讨论完全类似。习题3、如图10-3所示，重量为P=9072Kg的刚体块，吊在长为L1=30.5cm的钢棒和长为L2=61cm的铝棒下，现温度升高。其中钢棒:铝棒：，不考虑各棒的自重，且认为棒受压后不会弯曲，试求各棒中的热应力。图10-3解：利用第2题中的（a）式得整理后得利用第3题中的（b）式得21由上述两式可求出。习题4、将钢制螺钉拧进铜管中长L，假定螺钉与铜管的截面积之比为，钢制螺钉的纵向弹性系数为，铜管的纵向弹性系数为，试计算温度由

4、上升到时的热应力。解：由于是拧进去的，膨胀相互受到约束，伸长量必须相等，即将伸长量等式与合力平衡条件联立求解，可利用第2题中的讨论（1）其中，代入上式得由合力平衡条件得习题5、证明：在二维热弹性问题中，使面内应力的变温分布T一定满足拉普拉斯方程。证明：热弹性力学的物理方程为现在为二维热弹性问题中，而面内应力，故无论是平面应力问题，还是平面应变问题均有，于是再据变形协调方程21得三式相加得，所以有，得证。习题6、证明：在平面应力热弹性问题中，杜汉梅-偌衣曼原理可表述为：若在无体力及表面力作用时因变温引起的位移及应力与。而该同一弹性体在等温

5、情况下由体力使及表面力所引起的位移及应力为与，那么证明：在平面应力热弹性问题中，变形几何方程为：，（a）平衡方程为：（b）物理方程为：（c）应力边界条件为：（d）将（c）中第一式左右两边对求导，然后与（b）联立得：因为，21所以以位移表示的平衡方程为（e）（1）若在无体力及表面力作用、即时，因变温引起的位移及应力与可由下列公式求得将代入（e）式得位移公式：（f）将代入（d）式、再由（f）、（a）、（b）、（c）、（d）式得应力分量公式：（g）（2）同一弹性体在等温情况下、即时，由体力及表面力所引起的位移及应力与为将、代入（e）式得位移公

6、式：（h）代入（d）式、再由（h）、（a）、（b）、（c）、（d）式得应力分量公式：（ｉ）21（3）比较（f）和（h）式得：因为，由（a）得再比较（g）和（i）式得：故：若在无体力及表面力作用、即时，无约束弹性体在温度变化后，对其每一很薄平面微元体的膨胀或收缩在该平面内给以完全的限制，即可设想在微元体的x，y方向施加压力P，从而做到因变温引起的。所以P可由下式求得而这种压力分布可以一定的体力和面力作用在弹性体上来实现，对微元体说，也就是将附加到等温情况下的应力状态。图10-4习题7、如图10-4所示，一等厚度的矩形薄板，其温度只沿高度方

7、向按变化，板端不固定，试计算因温度分布不均匀而引起的热应力，并据不同的约束情况和温度分布情况讨论热应力的分布。解：首先假设使板两端固定，此时板中每根纵向（x向）纤维因膨胀而引起的应变完全被限制，板中显然受到压力，其压应力为（a）但这样假设后，在板的两端面（）上会有（a）式表示的应力分布，这不符合板两端面各点应力为零的实际情况。要满足板两端面各点应力为零的条件，只需在21面上加一个大小与（a）式相等而方向相反的应力系即可。这样加上的应力系沿端面积分所得的合力和合力矩为（b）（c）据圣维南原理，由在端面所加应力系在远离端部所引起的应力，与所

8、引起的应力相同，故有（d）（e）结果，在板中所产生的热应力，除了板端部附近外，是以上（a）、（d）、（e）三种应力的叠加，即（f）讨论：（1）如板只受到对弯曲的约束，则（f）式中项不存在；如只受到对压缩的约