人教A版2019学年高中数学选修2-2优化练习：第二章 2.3　数学归纳法_含解析.doc

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1、[课时作业][A组　基础巩固]1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于(　　)A．1B．2C．3D．0解析：边数最少的凸n边形是三角形．答案：C2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k)(2k＋2)＝(k＋1)·(k＋2

2、)·…·(k＋k)(2k＋1)×2，故需增乘的代数式为2(2k＋1)．答案：B3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2解析：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.答案：C4．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　)A．56·34k

3、＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34·34k＋1＋52·52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．答案：A5．已知f(n)＝＋＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋C．f(n)中共有n2－n＋2项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋

4、＋解析：由条件可知，f(n)共有项数为n2－(n－1)＋1＝n2－n＋2项，且n＝2时，f(2)＝＋＋＋.故选C.答案：C6．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk＋1的内角和π的和，即f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4

5、后，归纳猜想得出an的表达式为________．解析：∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，于是猜想an＝.答案：an＝(n∈N*)8．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)计算a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．解析：(1)a1＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.(2)由(1)的计算猜想：an＝.下面用数学归纳法进行证明：①当n＝1时，a1＝1，等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即ak＝，那么，ak＋1＝＝＝，即当n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n

6、∈N*都有an＝.9．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝.因为<，所以不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋＋…＋<1－，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋<1－＋＝1－＝1－<1－＝1－.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．[B组　能力提升]1．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　)A．30B．26C．9D．6解析：因为

7、f(1)＝36＝4×9，f(2)＝108＝12×9，f(3)＝360＝40×9，所以f(1)，f(2)，f(3)都被9整除，推测最大的m值为9.答案：C2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　)A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)

8、≥k2成立解析：对于A项，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A项错误．对于B项，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B项错误．对于C项，没有奠基部分，即没有