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1、2010年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)极限(A)1(B)(C)(D)【考点】C。【解析】【方法一】这是一个“”型极限【方法二】原式而(等价无穷小代换)则【方法三】对于“”型极限可利用基本结论：若,,且则,求极限由于则【方法四】综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(1)设函数由方程确定，其中为可微函数，且,则。(A)(B)(C
2、)(D)【答案】B。【解析】因为,所以综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分(1)设为正整数，则反常积分的收敛性(A)仅与的取值有关(B)仅与的取值有关(C)与的取值都有关(D)与的取值都无关【答案】D。【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在和时无界在反常积分中，被积函数只在时无界。由于，已知反常积分收敛，则也收敛。在反常积分中，被积函数只在时无界，由于(洛必达法则)且反常积分收敛，所以收敛综上所述，无论取任何正整数，反常积分收敛。
3、综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(1)(A)(B)(C)(D)【答案】D。【解析】因为综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(1)设为矩阵，为矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)秩秩(B)秩秩(C)秩秩(D)秩秩【答案】A。【解析】因为为阶单位矩阵，知又因,故另一方面，为矩阵，为矩阵，又有可得秩秩综上所述，本题正确答案是A。【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩(2)设为4阶实对称矩阵，且，若的秩为3，则相似于
4、(A)(B)(C)(D)【答案】D。【解析】由知，那么对于推出来所以的特征值只能是再由是实对称矩阵必有，而是的特征值，那么由,可知D正确综上所述，本题正确答案是D。【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(1)设随机变量的分布函数,则(A)0(B)(C)(D)【答案】C。【解析】综上所述，本题正确答案是C。【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质(1)设为标准正太分布的概率密度，为上均匀分布得概率密度，若为概率密度，则应满足(A)
5、(B)(C)(D)【答案】A。【解析】根据密度函数的性质为标准正态分布的概率密度，其对称中心在处，故为上均匀分布的概率密度函数，即所以,可得综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）(1)设，则。【答案】。【解析】【方法一】则，【方法二】由参数方程求导公式知，代入上式可得。【方法三】由得，，则当时，则综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，复合
6、函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(1)。【答案】。【解析】令,则综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(1)已知曲线的方程为起点是终点是，则曲线积分。【答案】。【解析】如图所示,其中,所以综上所述，本题正确答案是。-1O1【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性质及计算(1)设，则的形心坐标。【答案】。【解析】综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念
7、、性质、计算和应用(2)设，若由生成的向量空间的维数为，则。【答案】6。【解析】生成的向量空间的维数为，所以可知，所以可得综上所述，本题正确答案是。【考点】线性代数—向量—向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及其相关概念(1)设随机变量的概率分布为,则。【答案】。【解析】泊松分布的概率分布为,随机变量的概率分布为对比可以看出所以而综上所述，本题正确答案是。【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量的分布；概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差
8、、标准差及其性质三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(2)求微分方程的通解【解析】由齐次微分方程的特征方程所以，齐次微分方程的通解为设微分方程的特解为则代入原方程，解得故特解为所以原方程的通解为【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程(1)求函数的单调区间与极值【解析】函数的定义域为，令，得,列表如下极小极大极小由上可知，的单调增区间为和；的单调减区间为和,
