高中奥林匹克物理竞赛解题方法.doc

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1、高中奥林匹克物理竞赛解题方法六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况.即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式.具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论.再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解.用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.塞题精析例1质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；⋯；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求：（1）nt时刻质点的速度；（2）nt时间内通过的总路程

2、.解析根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解.（1）物质在某时刻t末的速度为vtat2t末的速度为v2tvt2at,所以v2tat2at3t末的速度为v2tv2t3atat2at3at⋯⋯则nt末的速度为vntv(n1)tnatat2atat1(n23at1)n(n1n(n21)at1)atnatat(123n)12（2）同理：可推得nt内通过的总路程sn(n121)(2n1)at.例2小球从高h0180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小1(nn1)，求小球从下落到停止经过的总时间为

3、通过的总路程.（g取10m/s2）解析小球从h0高处落地时，速率v02gh060m/s第一次跳起时和又落地时的速率v1v0/2第二次跳起时和又落地时的速率vv/2202⋯第m次跳起时和又落地时的速率vmv0/2m每次跳起的高度依次h1h0,h2h0v2，v212gn222gn4⋯通过的总路程sh02h12h22hmh2h0(10n202h11n2n4n211n2m2)5h0n21h0n21h0300m3经过的总时间为tt0v0gt1t22v1gtm2vmgv0[121gnv0(n1)2(1)m]ngn3v0g118s例3

4、A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔△t，在每一个△t内每只猎犬的运动可视为直

5、线运动，每隔△t，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、⋯、an，显然当an→0时三只猎犬相遇.a1aAA1BB1cos60a3vt,2a2a1a3a23vt23vt2a23vt,2a33vt,2anan3vt2因为a3nvt0,2即ntt所以t2a3v此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.例4一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的

6、牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.1原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在△s的宽松距离，设火车的牵引力为F，则有：车头起动时，有(Fmg)s1mv2拉第一节车厢时：(mm)v12mv11故有v2121Fv(1g)s4(F22m1mg)s22mv212mv2212拉第二节车厢时：(m2m)v22mv2v2故同样可得：2422Fv(25g)s⋯⋯推理可得93mv2nF2nn(n1m331g)sn由v20可得:F2n1mg3另由题意知F31mg,得n46因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢.例5有

7、n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？解析将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为W2mgd将第3、4、⋯、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为W=W1+W2+W3+⋯+WnW3=mg2dW4=mg3dW5=mg4dLWn=mg(n-1)dmgdmgdmg2dn(n1)2mg3dmg(n1)d例6如图6—3所示，有六个完

8、全相同的长条薄片AiB