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1、图像处理中的正则化图像处理中的正则化二维的图像可以分解成不同的频率成分。其中，低频成分描述大范围的信息，而高频成分描述具体的细节。在灰度图像中，亮度变化小的区域主要是低频成分，而亮度变化剧烈的区域(比如物体的边缘)主要是高频成分。前一章说明当噪声存在时过滤是必要的。这章需要仔细看看过滤。过滤也称为正则化,因为它可以解释成对解执行特定规律的条件。正规化的程度是由一个正则化参数决定的,这个参数应该仔细选择。我们本章主要关注两个正则化方法(TSVD和Tikhonov)和三个计算正则化参数的方法(差异原则,广
2、义交叉验证和L-曲线标准).6.1两个重要的方法在前面的章节中SVD分析激发了谱过滤方法的使用，因为这些方法使我们通过过滤因子能控制模糊图像的谱的内容。实现谱过滤方法必须通过选择计算出的解NTbvi，Xfiltiui(6.1)i1i中的过滤因子i。为了获得一个有理想性质的解。这些方法受坐标系uiTb和坐标系viTx的影响，其中坐标系uiTb由向量uii1,...,N决定，坐标系viTx由向量vii1,...,N决定。操作b的数据上面提到的坐标系是谱坐标系,因为这些向量分别是ATA和AAT的特征向量。我
3、们看到了精确的求解方程组Axb，当数据被噪声污染时得不到一个好的解。相反，我们通过（5.3）中的过滤展式过滤光谱解，使得在vi方向上解的元素按过滤因子i缩放，而且可以减小误差在uiTb中的影响。在这一节中我们讨论两个最重要的谱过滤方法。1.TSVD方法.对于这个方法，我们定义对于大奇异值过滤因子的大小为1，对于其他奇异值过滤因子为0。更确切地说，1,i1,...,k,(6.2)i0,ik1,...,N.参数k称为截断参数决定了正则解中奇异值的数量。注意k总满足1kN。例如，这是一种用于计算图5.6所示
4、的解的方法。2.Tikhonov方法.对于这种方法，我们定义过滤因子为2ii,i1,...,N,(6.3)22i其中0称为正则化参数，这个参数的选择得到了最小化问题minbAx22x2，(6.4)22x的解向量X。图像处理中的正则化2正如我们将在第7.2节中讨论的那样。我们希望bAx2要很小得到了(6.4)这个问题，但如果我们选择xA1b使它等于0，则22NuiTbX2i12。i当噪声在一些方向ui上的大小超过了奇异值i的大小时这个值是很大的。因此，我们也要保持2X2相当小，我们(6.4)中的最小化问
5、题要确保bAX的残差范数和解X的范数有点小。在去模糊处理中除了SVD坐标系b外，傅里叶坐标系也经常被用到.过滤是用来消除噪音影响的。用代替符号b，其中是正交傅里叶变换矩阵的一行。对于低通滤波器，低频元素对应的过滤因子接近1，对应于高频元素的过滤因子接近0。TSVD和Tikhonov方法和这个方法是类似的。更多傅里叶滤波法的信息可参见3.傅里叶波滤法我们现在考虑参数选择的效果。先考虑对于i的过滤因子i。则，利用泰勒展开2ii22i1111211221i222iO12344i，我们得到...接下
6、来，我们考虑对于的一个过滤因子11ii。再次使用的泰勒扩展，得到2212214iii1iii2221222224....ii因此，我们可以得出这样的结论：Tikhonov过滤因子满足1()2O(()4),i,iii()2O(()4),i,ii这意味着，如果我们选择N,1，则对于小的指标i，i1，对于大的指标i，22，对于一个给定的，在该“断点”的过滤因子变化的本质是在该指标处。iii6.2波滤方法的实现如果我们假设A的所有奇异值是非零的，那么这个naive解可以写成XA1bV1UTb.(6.5)图像处
7、理中的正则化类似地，谱过滤解可以写为XfiltA1bV1UTb.(6.6)其中是一个对角矩阵，其中包含了特定方法的滤波因子i（例如，TSVD方法的滤波因子为1和0，Tikhonov的滤波因子为222）。如果谱分解存在的话，（6.5）和（6.6）的关系类似的可以ii写成谱分解的形式。在第4章中，我们讲了（1）由图像去模糊问题导出的各种结构矩阵；（2）如何高效的计算这些矩阵的SVD和谱分解；（3）如何高效的计算（6.5）的na?ve解（参看VIPs10,11,12）因为表达式（6.6）只是（6.5）式的一
8、个变式，所以它对于第4章中的结构矩阵也能高效的实现滤波方法。我们可以把（6.6）式写成1Tb,其中11。因此，如果滤波因子已经给出，则很容易修改VIPsXfiltVfiltUfilt10,11,12去计算Xfilt对于许多结构矩阵都可以高效的计算出Xfilt，以下是计算Xfilt的算法给定P=PSFcenter=[row,col]=centerofPSFB=blurredimageBC=stringdenotingboundarycondition(e.
