三角形四心及向量复习

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1、三角形四心及向量复习三角形的四心三角形的重心是三角形三条中线的交点(一般G表示)。三角形的重心的性质☆1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。　　2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。　　3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。　　☆4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；[空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3]　　5.重心和三角形

2、3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。　　6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。☆7.P为△ABC所在平面上任意一点，点G是△ABC重心的充要条件是：☆8.三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)(一般O表示)。三角形的外心的性质1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.　　2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。　　3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直

3、角三角形的外心与斜边的中点重合.　　4.OA=OB=OC=R，（）5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA　　☆6.S△ABC=abc/4R7.三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)（一般I表示）.三角形的内心的性质1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心　　2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r　　☆3.r=2S△ABC/(a+b+c),S△ABC=[(a+b+c)r]/2(r是内切圆半径)　　4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-

4、c)/2．　　5.∠BIC=90°+∠A/2∠BIA=90°+∠C/2∠AIC=90°+∠B/2　　☆6.P为△ABC所在平面上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：.☆7.，也可以写成．8.(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则．9.（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.10.I为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AI

5、交BC边于N，则有AI:IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC11.△ABC，其内切圆与BC,CA,AB分别切于D,E,F三点，则有AE=AF,BF=BD,CD=CE;AE+BF+CD=三角形周长的一半☆12.，则动点P必过△ABC的内心，则I为△ABC的内心三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的垂心的性质1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外　　2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心　　3.垂

6、心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上　　4.△ABC中，有六组四点共圆（三个顶点、三个垂足、垂心），有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF　　5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为垂心组)。　　6.△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。　　7.在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC　　8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心

7、到对边的距离的2倍。　　9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。　　10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。　　11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。12.三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG:GH=1：2，此直线称为三角形的欧拉线。其向量式☆13.☆14.，向量式一样成立☆15.设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是三

8、角形的旁心指三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心。三角形的旁心的性质：1.三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2.每个三角形都有三个旁心，旁心到三边的距离相等。特例：1.等腰直角三角形ABC，,,垂心,重心，内心，外心2.等边三角形重心、内心、外心、垂心重合（此时