2020版高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教学案含解析理.pdf

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1、第四节数列求和[考纲传真]1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．1．公式法(1)等差数列的前n项和公式：na＋ann－S＝1n＝na＋d；n212(2)等比数列的前n项和公式：2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a}的

2、前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，n那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a＝(－1)nf(n)类n型，可采用两项合并求解．例如，S＝1002－992＋982－972＋…＋22－12n＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.[常用结论]1．一些常见的数列前n项和公式：nn＋(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；2(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.2．常用的裂项公式1111

3、(1)＝－；nn＋kknn＋k11111(2)＝＝－；4n2－1n－n＋22n－12n＋11(3)＝n＋1－n；n＋n＋11(4)log1＋＝log(n＋1)－logn.anaa[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)a－a(1)如果数列{a}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和S＝1n＋1.()nn1－q1111(2)当n≥2时，＝－.()n2－12n－1n＋1(3)求S＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相n减法

4、求得．()(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√12．(教材改编)数列{a}的前n项和为S，若a＝，则S等于()nnnnn＋55A．1B.611C.D.630111B[∵a＝＝－，nnn＋nn＋111115∴S＝a＋a＋…＋a＝1－＋－＋…－＝.]5125223663．若S＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，则S＝________.n50－25[S＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(

5、49－50)＝－25.]50111114．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和S的值等于________．248162nn11111n2＋1－[S＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＋＋＋…＋2nn2482n111－n221＝n2＋＝n2＋1－.]12n1－25．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________.n＋4111111114－[设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×，则S＝3×＋4×＋5×＋…2n222232n22223241＋(n＋2)×.2n＋1

6、11111n＋2两式相减得S＝3×＋＋＋…＋－.2222232n2n＋1111n＋2∴S＝3＋＋＋…＋－2222n－12n111－n－122n＋2＝3＋－12n1－2n＋4＝4－.]2n分组转化求和n2＋n【例1】(2019·黄山模拟)已知数列{a}的前n项和S＝，n∈N*.nn2(1)求数列{a}的通项公式；n(2)设b＝2a＋(－1)na，求数列{b}的前2n项和．nnnnn2＋nn－2＋n－[解](1)当n＝1时，a＝S＝1；当n≥2时，a＝S－S＝－11nnn－122＝n.a也满足a＝n，故

7、数列{a}的通项公式为a＝n.1nnn(2)由(1)知a＝n，故b＝2n＋(－1)nn.nn记数列{b}的前2n项和为T，则T＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．n2n2n－22n记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，1－2B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{b}的前2n项和T＝A＋B＝22n＋1＋n－2.n2n[拓展探究]在本例(2)中，如何求数列{b}的前n项和T.nn[解]由本例(1)知b＝2n＋(－1)n·n.n当n为偶数时，2

8、－2n＋1nnT＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2；n1－222当n为奇数时，T＝