2019-2020学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1.5 1.5.2 综合法和分析法 Word版含解析.pdf

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1、1．5.2综合法和分析法[对应学生用书P19][读教材·填要点]1．综合法从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法．2．分析法从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法．[小问题·大思维]1．如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件？提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，

2、当然B是A的充要条件也可．2．用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示：综合法：A⇒B⇒B⇒…⇒B⇒B(逐步推演不等式成立的必要条件)，12n即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B⇐B⇐B⇐…⇐B⇐A(步步寻求不等式成立的充分条件)，12n总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法．[对应学生用书P19]用综合法证明不等式[例1]已知a，b，c均为正实数，且互不相等，又abc＝1.111求证：a＋b＋c<＋＋.abc[思路点拨]本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种

3、差异正是我们思考的方向．左端含有11＋1bc根号，脱去根号可通过a＝<实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明bc2即可．[精解详析]法一：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，111111＋＋＋111bcacab111∴a＋b＋c＝＋＋＜＋＋＝＋＋.bcacab222abc法二：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，111∴＋＋＝bc＋ca＋ababcbc＋caca＋abab＋bc＝＋＋222＞abc2＋a2bc＋ab2c＝a＋b＋c.(1)用综合法证明不等式时，主要利用基本不等式，函数的单调性以及不等式的性质等知识，在严密的演绎推理下推导出结论．(

4、2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几a＋b个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有：a2＋b2≥2ab，()2≥ab.a2＋b221a＋bba≥(a＋b)2.③若a，b为正实数，≥ab.特别＋≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.22ab1．已知a>0，b>0，求证a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥

5、4abc.用分析法证明不等式[例2]a，b均为正实数，且2c>a＋b.求证：c－c2－ab

6、a－c

7、＜c2－ab，两边平方得a2－2ac＋c2＜c2－ab，也即证a2＋ab＜2ac，即a(a＋b)＜2ac.∵a，b均为正实数，且a＋b＜2c，∴a(a＋b)＜2ac显然成立．∴原不等式成立．(1)当所证不等式与重要不等式、

8、基本不等式没有什么直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径．(2)对于无理不等式的证明，常采用分析法通过平方将其有理化，但在乘方的过程中，要注意其变形的等价性．(3)分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键是推理的每一步都必须可逆．112．已知x>0，y>0，求证：(x2＋y2)2>(x3＋y3)3.11证明：要证明(x2＋y2)2>(x3＋y3)3，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.∵

9、x>0，y>0，∴x2y2>0.即证3x2＋3y2>2xy.∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy，∴3x2＋3y2>2xy成立．11∴(x2＋y2)2>(x3＋y3)3.分析法与综合法的综合应用[例3]已知a，b，c均为正实数，且b2＝ac.求证：a4＋b4＋c4＞(a2－b2＋c2)2.[思路点拨]本题考查综合法与分析法的综合应用．解答本题可先采用分析法将所要证明的不等式转化为较易证明的不等式，然后再用综合法证明．[精解详析]欲证原不等式成立，只需证a4＋b4＋c4＞a4＋b4＋c4－2a2b2＋2a2c2－2b2c2，即证a2b2＋b2c2－a2c2＞

10、0，∵b2＝ac，故只需证(a2＋c2)ac－a2c2＞0.∵a、