数学物理方法上课讲义.ppt

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1、数学物理方法复变函数论7/28/20211徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数论复数复变函数导数解析函数本章小结7/28/20212徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复数复数的表示代数表示z=x+iyx=Real(z),y=Imagine(z)三角表示z=r(cosφ+isinφ)r=

2、z

3、,φ=Arg(z)指数表示z=rexp(iφ)exp(iφ)=cosφ+isinφ7/28/20214徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复数几何表示关系x=rcosφy=rsinφr=√(x2+y2)φ=Arcta

4、n(y/x)特点无序性复数无大小矢量性复数有方向7/28/20215徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复数运算加减法(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)乘除法r1exp(iφ1)×r2exp(iφ2)=r1r2exp[i(φ1+φ2)]幂和开方[rexp(iφ)]n=rnexp(inφ)[rexp(iφ)]1/n=r1/nexp(iφ/n)复共轭z=x+iy→z*=x–iyz=rexp(iφ)→z*=rexp(-iφ)7/28/20216徐州工程学院数理方法教案滕绍勇

5、复变函数概念定义函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射实变函数：f:x→y复变函数：f:z→w举例f(n)=fn=(1+i)n,n∈Nf(z)=znf(z)=exp(z)f(z)=ln(z)7/28/20217徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数更多的例子w=az2w=az2+bz+cw=1/(az+b)w=√(az+b)w=Ln(az+b)w=sinzw=Arccoszw=∑anznw=∑ansin(nωz)w=∏(1-z2/n22)w=∫exp(-z2)dz7/28/202

6、18徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数7/28/20219徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数分析与比较定义域和值域相同点：都是数集不同点：实数集是一维的，可以在(直)线上表示；复数集是二维的，必须在(平)面上表示。典型例子：

7、x

8、<2是连通的，1<

9、x

10、是不连通的；

11、z

12、<2是单连通的，1<

13、z

14、是复连通的。7/28/202110徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数映射相同点在形式上：y=f(x),w=f(z)不同点在变量上：z=x+iy,w=u+iv在描述上：实变函数可以用两个数轴组

15、成的平面上的曲线表示；复变函数不能用一个图形完全表示。联系u=u(x,y),v=v(x,y)可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。7/28/202111徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数结构相同点：复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。不同点：基本实变函数xn,x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)基本复变函数zn,z1/n,exp(z),ln(z)原因cos(z)=(eiz+e-iz)/2,sin(z)=(eiz-e-iz)/2i7/28/202112

16、徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数基本函数二次函数定义w=z2分析u+iv=(x+iy)2=x2+2ixy-y2u=x2-y2,v=2xy性质对称性无周期性无界性单值性7/28/202113徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数三次函数定义w=z3分析u+iv=(x+iy)3=x3+3ix2y-3xy2-iy3u=x3–3xy2,v=3x2y-y3性质对称性无周期性无界性单值性7/28/202114徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数指数函数定义w=exp(z)分析u+iv=exp(x+i

17、y)=exp(x)[cosy+isiny]u=exp(x)cosy,v=exp(x)siny性质不对称性周期性exp(z+2i)=exp(z)无界性单值性7/28/202115徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数对数函数定义w=Ln(z)分析u+iv=Ln[r×exp(iφ)]=lnr+iφu=lnr,v=φ性质对称性非周期性无界性多值性：

18、φ

19、7/28/202116徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数三角函数定义w=sin(z)分析u+iv=sin(x+iy)=sin(x)ch(y)

20、+icos(x)sh(y)u=sin(x)ch(y),v=cos(x)sh(y)性质对称性周期性无界性单值性7/28/202117徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数的导数基本概念实变函数复变函数极限连续导数7/28/202118徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数的导数可导条件分析C-R条件ux=vyvx=-uy充要条件偏导数ux，vy，vx，uy连续满足C-R条件意义可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。7/28/202119徐州工程学院数理方法教案滕绍勇复变函数的导数典型