空间向量及其运算教案3

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1、课题：9．5空间向量及其运算(三) 教学目的：⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）教学难点：空间作图．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般

2、用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下;;运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：3．平行六面体：平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行

3、向量也叫做共线向量．向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ.要注意其中对向量的非零要求．5共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6．共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式．其中

4、向量叫做直线的方向向量.空间直线的向量参数表示式：或，中点公式．7．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使①或对空间任一点，有②或③上面①式叫做平面的向量表达式二、讲解新课：1空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的

5、有序实数组，使证明：（存在性）设不共面，过点作；过点作直线平行于，交平面于点；在平面内，过点作直线，分别与直线相交于点，于是，存在三个实数，使，，，∴所以（唯一性）假设还存在使∴∴不妨设即∴∴共面此与已知矛盾∴该表达式唯一综上两方面，原命题成立由此定理，若三向量不共面，则所有空间向量所组成的集合是，这个集合可以看作由向量生成的，所以我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使三、讲解

6、范例：例1已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量解：∴例2如图，在平行六面体中，分别是的中点，请选择恰当的基底向量证明：（1）（2）平面证明：取基底：,（1）∵，，∴（2）∵，∴，由（1），∴平面四、课堂练习：课本练习1－5五、小结：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问

7、题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：