极限四则运算.doc

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1、§1.5极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算.一无穷小的运算定理设是时的无穷小，即下面来叙述有关无穷小的运算定理。定理11）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。二极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。定理2如果，则，

2、的极限都存在，且（1）（2）（3）证1因为，，所以，当时，，当时，有，对此，，当时，有，取，当时，有所以。2）因为，由极限与无穷小的关系可以得出（均为无穷小）于是有，记，为无穷小，因此。3）证设（为无穷小），考虑差：其分子为无穷小，分母，我们不难证明有界（详细过程见书上）为无穷小，记为，所以，。由该定理可以得到如下推论：推论：若存在，C为常数，则1）2）由于数列是函数的一直特殊情形，因此上述定理和推论对数列极限也成立。例1证明：证因为由推论例2求。例3求极限解当时，分母的极限是0，所以不能用极限的四则运算法则，但注意到其分子中也含有，

3、且在的过程中，即，于是可以约去不为零的公因子，因此例4求极限解当时，分子、分母的极限均为零，但该分式的分子、分母中含有一个公因子，且在的过程中，即，于是可以约去不为零的公因子，因此例5求极限解因为，商的极限运算法则不能用，但由于由无穷小和无穷大的关系，有例6求极限解当时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，所以无法使用极限的四则运算法则，注意到分式的分子和分母的最高次幂都是4，可将分子分母同时除以，则有练习求极限一般地，若有例7求极限解当时，均无限增大，都没有极限，不能直接应用极限的四则运算法则，为求此极限，可先将分子有理化，得例8

4、求极限解当时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，但当时，为无穷小，又为有界函数，由于有界函数与无穷小的乘积为无穷小，所以三复合函数求极限的法则定理3（复合函数的极限运算法则）设函数是由与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，，且，当时，有，则。证任给，由于，根据函数极限定义，存在相应的，当时，有又由于，故对上述，存在相应的，当时，有，取，则当时，与同时成立，即成立，从而有，所以．例8求极限。解，则，当时，，于是练习求极限。