导数的综合应用（一）课件.ppt

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1、基础知识自主学习§3.4导数的综合应用题型一函数的极值与导数【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.(1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及f′(x)<0可求单调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.题型分类深

2、度剖析思维启迪解(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),得m-n=-3.①由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.而g(x)的图象关于y轴对称,所以所以m=-3.代入①得n=0.于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>0得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);由f′(x)<0,得0

3、(x)=0得x=0或x=2.当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:由此可得:当0

4、大值;当a=1或a≥3时,f(x)无极值.(1)注意体会求函数极值的基本步骤,列表可使解题过程更加清晰规范.(2)要求函数f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值,需对参数a进行讨论.探究提高知能迁移1已知函数(a为常数),求函数f(x)的极值.解由已知得函数f(x)的定义域为{x

5、x>1},①当a>0时,由f′(x)=0,得当x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.题型二　函数的最值与导数【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b,问是否存在实

6、数a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29,若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．(1)研究函数f(x)在[－1,2]上的单调性;(2)确定f(x)在[－1,2]上的最大、最小值；(3)列方程组求a、b.解由f(x)＝ax3－6ax2＋b得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．当a＝0时,f′(x)＝0,f(x)＝b不能使f(x)在[－1,2]上取最大值3,最小值－29.思维启迪当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4在区间[－1,2]上,当a<0,令f′(x)＝0得x1＝

7、0,x2＝4在区间[－1,2]上,x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)－－0＋＋f(x)－7a＋b极小值b－16a＋b