高考数列求和的基本方法和技巧必过.pdf

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1、数列求和的基本技巧和方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.n(aa)n(n1)1、等差数列求和公式：S1nnadn212na(q1)12、等比数列求和公式：Sa(1qn)aaqn11n(q1)1q1qn1n13、Skn(n1)4、Sk2n(n1)(2n1)n2n6k1k1n15、Sk3[n(n1)]2n2k11[例1]已知logx，求xx2x3xn的前n项和.3log3211解：由logxlogxlog2x3log33322由等比数列

2、求和公式得Sxx2x3xn（利用常用公式）n11(1)x(1xn)22n1＝＝＝1－1x12n12S[例2]设S＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)n的最大值.n(n32)Sn111解：由等差数列求和公式得Sn(n1)，S(n1)(n2)（利用常用公式）n2n2Sn∴f(n)n＝(n32)Sn234n64n1111＝＝64850n34(n)250nn81∴当n，即n＝8时，f(n)8max50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a·b}的前nnn项和，其中{a

3、}、{b}分别是等差数列和等比数列.nn[例3]求和：S13x5x27x3(2n1)xn1………………………①n解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积设xS1x3x25x37x4(2n1)xn……………………….②（设制错位）n①－②得(1x)S12x2x22x32x42xn1(2n1)xn（错位相减）n1xn1再利用等比数列的求和公式得：(1x)S12x(2n1)xnn1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x)∴Sn(

4、1x)22462n[例4]求数列,,,,,前n项的和.222232n2n1解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积2n2n2462n设S…………………………………①n222232n12462nS………………………………②（设制错位）2n2223242n11222222n①－②得(1)S（错位相减）2n22223242n2n112n22n12n1n2∴S4n2n1练习：求：S=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1n解：S=1+5x+9x2+······

5、+(4n-3)xn-1①n①两边同乘以x，得xS=x+5x2+9x3+······+(4n-3)xn②n①-②得，（1-x）S=1+4（x+x2+x3+······+xn）-（4n-3）xnn当x=1时，S=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-nn14x(1-xn)+1-（4n-3）x当x≠1时，S=[n]n1-x1-x三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(aa).1n[例5]求证：C03C15C2(2n1)Cn(n1)2nnnnn证明：设SC03C15

6、C2(2n1)Cn…………………………..①nnnnn把①式右边倒转过来得S(2n1)Cn(2n1)Cn13C1C0（反序）nnnnn又由CmCnm可得nnS(2n1)C0(2n1)C13Cn1Cn…………..……..②nnnnn①+②得2S(2n2)(C0C1Cn1Cn)2(n1)2n（反序相加）nnnnn∴S(n1)2nn[例6]求sin21sin22sin23sin288sin289的值解：设Ssin21sin22sin23sin288s

7、in289………….①将①式右边反序得Ssin289sin288sin23sin22sin21…………..②（反序）又因为sinxcos(90x),sin2xcos2x1①+②得（反序相加）2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89∴S＝44.5练习：已知lg(xy)=a，求S，其中lgxlg(xy)lg(xy)•••lg