实变函数教案ch1集合.pdf

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1、《实变函数与泛函分析》（上海交大，邵国年编，2002.5）实变函数诞生于上世纪初．（法）Lebesgue创立Lebesgue积分．Riemann积分的对象是连续函数；Lebesgue积分的对象是可测函数，其应用广泛．测度积分形成后，建立了泛函分析理论．它是现代数学的一门重要课程，应用广泛．第一章集合§1.1.集合及其运算1．集合概念集合：具有某种共性的事物的全体．记为A,B,C,．空集：；全集：X．元素：xA,或xA．如：AxRx0；B=｛一个班级全体学生｝．2．包含与相等AB是指：xA

2、xB；称A是B的子集．AB是指：xAxB．若AB　且　AB，称A为B的一个真子集．关系“”满足：(1)AA；(2)AB　且　BAAB；(3)AB，　BCAC．3．集合的运算并集ABxxA或xB；交集ABxxA且xB；若AB，称A与B不相交；差集ABxxA且xB；余集AX,AcXA．（画图示．）集合运算性质：(1)交换律：ABBA,ABBA；(2)结合律：(AB)CA(BC),(AB)CA(BC)；(

3、3)分配律：(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC)；(4)对偶律：(AB)cAcBc,(AB)cAcBc．4．集族集族：X为集合，集合A的元素都是X的子集，称A为X的一个集族．AA：A中所有元素的并；：A中所有元素的交．AA幂集：P(X)2X，X的全体子集构成的集族．{A}指标集，,AX，有集族．A{xX,xA}A{xX,xA}并：；交：．如N{1,2,3,

4、,n,}，得到集列{A}；A，A．简记{A}为{A}或(A)．nn1nnn1nnn1n15．集合序列的极限}AX定义1.1.1.{A为一集列，．nnlimAA{xXnN,kn,使xA}上限集：nkk；nn1knlimAA{xXnN,kn,有xA}下限集：nkk．nn1kn关系：limAlimA．nnnnlimA若n＝limAAlimA，称(A)收敛．nnnnnn例1.令A

5、{n1,n2,n3,},(n1,2,3,)，则limAAlimA．(A)收敛．nnnnnnnn1例2.令A{(1)n},(n1,2,3,)，则limAA，nnknn1knn1limAA{1,1}{1,1}．故(A)发散．nknnn1knn1定理1.1.1.(A)为一集列，则n(1)xlimA有无穷多个A含有x；nnn(2)xlimAnN,当nn时，恒有xA．n00nn

6、定义1.1.2.(单调集列)单增集列：AAA，记为A↗；单减集列：AAA，记为A↘．123n123n结论：limAA(1)若A↗，则；(2)若A↘，则limAA．nnnnnnnnn1n1证：(1)limAAA；limAAAA．nknnkkknnn1knn1n1knn1k1k16．集族的直积A与B的直积集AB(a,b)aA,bB；AA,A

7、,,A,的直积集AAA(a,a,,a,)aA,n1,2,3,．12nk12n12nnnk1§1.2.集合的势1．映射（对应）概念映射f：XY,xy,(xX,yY),yf(x)．x――原象，y――象，X――定义域．满射：f(X)Y；单射：xxf(x)f(x)；一一映射：满射+单射．1212恒等映射T:XX,xx，（一一映射）．X若YR(或C)，称f为X上的实（或复）函数．逆映射：f:XY,xy为一一映射，定义f1:YX,为yx．设f:XY,AX

8、,BY，记f(A){f(x)xA}（象）；f1(B){xXf(x)B}（原象）．{A}{B}定理1．设f:XY，和分别是X上和Y上的集族，则fAf(A)，fAf(A)；f1Bf1(B)，(*)f1Bf1(B)．