学业水平测试数学复习教案 第14课时平面向量的数量积及应用.pdf

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1、学业水平测试数学复习学案第14课时平面向量的数量积及应用一．知识梳理1．向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角；说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝π/2时，a与b垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。rrrrrr（2）数量积的概念:已知两个非零向量ab，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cosrrr与r叫做a与b的数量积（或内积）。规定0a0；（3）两个向

2、量的数量积的坐标运算rrrr已知两个向量a(x,y),b(x,y)，则a·b=xxyy。11221212①两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝Oxxyy01212rrrr②向量的模与平方的关系：aaa2

3、a

4、2。设a(x,y)，则

5、a

6、x2y2rrrra•bxxyy③向量的夹角：cos=cosa,brr=1212。a•bx2y2x2y211222.三角形各“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则uuuruuuruuur222（1）O为

7、ABC的外心OAuuuruuOBuruuurOCr.（2）O为ABC的重心OAOBOC0.uuuruuuruuuruuuruuuruuur（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.uuuruuuruuurruuruur（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.(uABuruACur)(0)所在直线过内心.

8、AB

9、

10、AC

11、二．课前自测1、设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a·b）c－（c·a）b=0②

12、a

13、－

14、b

15、<

16、a－b

17、③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直④（3a

18、+2b）（3a－2b）=9

19、a

20、2－4

21、b

22、2中，是真命题的有（）A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知

23、a

24、、

25、b

26、、

27、a－b

28、恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（b·c）a－（c·a）b］·c=（b·c）a·c－（c·a）b·c=0，所以垂直.故③假；④（3a+2b）（3a－2b）=9·a·a－4b·b=9

29、a

30、2－4

31、b

32、2成立。故④真。2、已知向量a、b满足

33、a

34、1、

35、b

36、4，且ab2，则a与b的夹角为（C）A．30°B．45°C．

37、60°D．90°3、已知向量a(2,3)，b(x,6)，且a//b，则x。解析：∵va//bv，∴x1y2x2y1，∴v2v6v3xv，∴x4。4.已知a(3,2),b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为（B）1111A．B．C．D．7766三．典例解析【例1】已知

38、a

39、＝3，

40、b

41、＝4，

42、a＋b

43、＝5，求

44、2a－3b

45、的值．解:65【变式训练】若向量a与b的夹角为60°，

46、b

47、=4，（a+2b）·（a－3b）=－72，则向量a的模是（C）A.2B.4C.6D.12解析：（a+2b）·（a－3b）=

48、

49、a

50、2－

51、a

52、

53、b

54、cos60°－6

55、b

56、2=

57、a

58、2－2

59、a

60、－96=－72，∴

61、a

62、2－2

63、a

64、－24=0.∴（

65、a

66、－6）·（

67、a

68、+4）=0.∴

69、a

70、=6.【例2】如图，在等腰直角ΔABC中，∠C=90°，

71、AB

72、=22.求（1）ACAB的值；（2）CAAB的值；（3）BC(CAAB).【变式训练】在ABC中,a5,b8,C60,则BCCA的值为()A.20B.20C.203D.203答案:B【例3】已知

73、a

74、=2，

75、b

76、=3，a和b夹角为450，求当向量a+λb与λa+b夹角为锐角时，λ的取值范

77、围。11851185答案：λ<，或λ>且λ≠166【变式训练】．已知acos，sin，bcos，sin，其中0。（1）求证：a＋b与a－b互相垂直；（2）若kab与kab（k0）的长度相等，求。22解析：（1）因为(a＋b)·(a－b)aa·b＋b·a－b22ab

78、a

79、2

80、b

81、2cos2sin2cos2sin2110所以a＋b与a－b互相垂直。（2）ka＋bkcoscos，ksinsin

82、，kabkcoscos，ksinsin，所以

83、kab

84、k22kcos1，

85、kab

86、k2