高等数学B：6_4_3正弦级数和余弦级数.doc

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1、6.4.3正弦级数和余弦级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数定理设是周期为的函数，在一个周期上可积，则（1）当为奇函数时，它的傅里叶系数为①，.（2）当为偶函数时，它的傅里叶系数为，②.定理说明：若为奇函数，则其傅里叶级数是只含正弦项的正弦级数.③若为偶函数，则其傅里叶级数是只含常数项和余弦项的余弦级数.④例1．将周期函数（是正常数）展开成傅里叶级数。解：∵是周期为的偶函数，∴。而6。得.二、函数展开成正弦级数或余弦级数设在上满足收敛定理的条件，1．将在上展开成正弦级数：令则是上的奇函数，称为的奇

2、式延拓。将在上展开成傅里叶级数，这个级数必定是正弦级数，再将制在上，此时，便得的正弦级数展开式，其中，。2．将在上展开成余弦级数：令则是上的偶函数，称为的偶式延拓。将在上展开成傅里叶级数，再限制在上，便得的余弦级数展开式，其中，.6注：具体计算和时，只用到和在上的积分，故不必写出延拓函数。例2．将函数（）分别展开成正弦级数和余弦级数。解：求正弦级数，应对作奇式延拓，此时，∴（）当和时，级数收敛于0，它不代表原来函数的值。()()()6求余弦级数，应对作偶式延拓，此时，，∴（）。()()6.4.4

3、以为周期的函数的傅里叶级数设周期为的函数在上满足狄氏条件，令，则，变为，，则以为周期，在上的傅里叶系数为，，6。，从而定理2设周期为的函数在上满足狄氏条件，则其中，。　　　　若为上的奇函数时，～，其中；若为上的偶函数，～，其中。例3．将以4为周期的函数展开成傅里叶级数。解：周期为4，。，6，，故当时，；当，时，级数收敛于。和函数的图象如下：例4．把在上展开成以4为周期的正弦级数，并作出其和函数在上的图形。解：将先作奇式延拓，再作周期延拓，，周期为4。，，故。和函数即6