指数函数与一次函数的大小关系.pdf

《指数函数与一次函数的大小关系.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、Vo.l9,No.5高等数学研究










Sep.,2006STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS37教学随议*指数函数与一次函数的大小关系林婉仪
陈之兵
(深圳大学师范学院数学系
广东深圳
518060)x摘要
探究了指数函数y=a与一次函数y=ax+b(a>0且a
1)的大小关系关键词
不等式;指数函数;一次函数




中图分类号
O171x《高等数学研究》2005年第1期p41利用多种证法证明了命题:设x>1,则e>ex.本文受这x个不等式的启发,探讨了两个问题:(1)x
1时,仍有e>ex;(2)更一般地,探讨了指数函数

2、y=xa与一次函数y=ax+b(a>0且a
1)的大小关系.x问题1
当x
1时,证明e>ex.xx证明
设f(x)=e-ex,则f(1)=0,f
(x)=e-e.令f
(x)=0,得x=1,从而当x>1时,f
(x)>0,x<1时,f
(x)<0.当x>1时,由Lagrange中值定理得,存在

(1,x),使f(x)x-f(1)=f
(
)(x-1)>0,从而f(x)>f(1)=0,即e>ex.同理,当x<1时,存在

(x,1),x使f(x)-f(1)=f
(
)(x-1)>0,从而f(x)>f(1)=0,即e>ex.x问题2
对于一般的指数函数y=a

3、与一次函数y=ax+b(a>0且a
1),它们的大小关系怎样随着a、b取值的改变而改变呢?下面加以探讨.x令f(x)=a-(ax+b)(a>0且a
1)x(1)0

4、a>ax+b,

xx0xa(2)a>1.令f
(x)=alna-a=0,解得唯一稳定点x1=loga().lnaax+bax根据洛必达法则:limx=limx=0,即当x→+
时,a是比ax+b更高阶的无穷x→+
ax→+
alnaxx大,从而limf(x)=lim[a-(ax+b)]=+
.另外limf(x)=lim[a-(ax+b)]=+
,x→+
x→+
x→-
x→-
xaaaa因此f(x1)=minf(x)=min(a-(ax+b))=-aloga()-b.令A=-aloga()-lnalnaln

5、alnab,则有xx1)A>0时,恒有a>(ax+b),即a与(ax+b)不相交;xx2)A=0时,恒有a
(ax+b),即a与(ax+b)相交于一点;*收稿日期:2005-05-1338高等数学研究















2006年9月

3)A<0时,存在x2,x3(x2(ax+b),x
(-
,x2)
(x3,+
)x



a=(ax+b),x=x2,x3xa<(ax+b),x
(x2,x3)下面举例并画图验证以上三种情况:22ea=e,b=(ln2-2)2

6、











222e2e







a=e,b=(ln2-1)a=e,b=(ln2+1)22参考文献[1]张滦云
一个不等式的几种证法
高等数学研究,2005年,第8卷第1期,第41页.(上接第32页)证明
因为g
(x)
0(a

7、严格单调数列,则数列{g(xn)}严格单调增加,且limg(xn)=+
.结合条件(ⅳ),可得limn→
n→
f(xn)-f(xn-1)f
(
n)f(xn)=lim=k,(
n在xn-1与xn之间).再由施笃兹(Stolz)定理可得limg(xn)-g(xn-1)n→
g
(
n)n→
g(xn)f(xn)-f(xn-1)f
(
n)=lim=lim=k,最后由函数极限与数列极限的关系即海因(Heine)定理n→
g(xn)-g(xn-1)n→
g
(
n)f(x)知lim=k.定理的结论容易推广到更一般的情形limg(x)=

.x→a+0(+
)g(

8、x)x→a(
)从整个证明的过程可见,洛必达第二法则