地下水数值模拟06.ppt

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1、第五章边界元法一、基本原理基本思想——将微分方程的基本解化为边界积分方程，将边界剖分为有限个单元，在离散的区域边界上将边界积分方程化为代数方程求解。边界元——区域内满足控制方程，边界上近似满足边界条件有限元、有限差——区内近似满足控制方程，边界上满足边界条件一、基本原理特点优点缺点1、降低问题求解的空间维数2、计算精度高3、适合处理无限域或半无限域问题4、输入数据少，前处理简单1、系数矩阵不对称2、非均质问题、非线性问题处理较难一、基本原理基本概念与公式积分方程：——含有对未知函数的积分运算的方程例：第一类积分方程第二类积分方程一、基本原理基本概念与公式格林公式：

2、——平面上曲线积分和二重积分之间的关系式第一格林公式第二格林公式①u，v互换②①－②二、承压二维稳定流的边界元方法数学模型：建立边界积分方程边界离散化建立边界元方程求解二、承压二维稳定流的边界元方法建立边界积分方程：若u满足方程则解称为对应于方程（1）的基本解给定微分方程：（1）微分方程的基本解：对于方程设M、M0为渗流场内两点，其中M0处存在点源，两点之间距离为r。其基本解满足方程：物理意义：流场中一个点源在定解条件下对其它点的影响二、承压二维稳定流的边界元方法建立边界积分方程：设：H(x,y)为方程的解DDεM0由于M与M0都在同一区域内，因此M与M0可能重合，

3、则r=0，G在M0产生奇异性（1）M0位于渗流区内部边界积分方程的推导(1)(2)(3)(4)边界积分方程的推导——渗流区内水头积分表达式二、承压二维稳定流的边界元方法建立边界积分方程：（2）M0位于渗流区边界DDεM0——边界积分方程二、承压二维稳定流的边界元方法离散化：MnM1M2M5M3M4M6M7M9M8M10将渗流区边界划分为N小段直线段、……——边界元点M1、M2、……——结点二、承压二维稳定流的边界元方法推导边界积分方程：建立边界元方程：取边界上结点Mi作为基本点M0为了便于在直线段MjMj+1上进行线积分，引入局部坐标系(ξ,η)MiM1M2M3Mj

4、Mj+1ξ轴——平行于通过MjMj+1两点的直线；正向指向Mj+1η轴——过Mi点垂直于ξ轴；正向指向外法线方向ξη边界元方程的推导假设任意边界段MjMj+1上水头H及其法向导数是线性变化的——边界元方程求渗流区内部任一点处水头值，可通过将边值代入公式：方程中含有各结点水头值Hj和水力坡度值边界元方程例：若渗流区一类边界n1个结点，二类边界n2个结点关于边界元方程的未知数则：已知项——n1结点的水头值Hj，n2结点的水力坡度值未知项——n1结点的水力坡度值，n2结点的水头值HjMjMj+1ξη关于积分的计算边界元方程关于区内任一点水头值H二、承压二维稳定流的边界元方

5、法数学模型格林公式边界积分方程离散化边界元方程（代数方程），求解所有边界结点水头或水力坡度渗流区内结点水头表达式三、承压二维不稳定流的边界元方法数学模型：建立边界积分方程边界离散化建立边界元方程求解时间差分法Laplace变换法直接Green函数法三、承压二维不稳定流的边界元方法时间差分法：用差分近似代替偏导数：根据数理方程的基本知识可知：其解为：或代入格林公式：三、承压二维不稳定流的边界元方法Laplace变换法：构造函数G对时间做变换对时间因子做拉式变化：进行数值反演：Laplace变换定义：微分性质：积分性质：——用于求解含时间的偏微分方程定解问题四、非均质问

6、题的处理将区域划分为若干个区每个区内视为相对均质，有关参数为常数各区水头均应满足渗流方程各分区内部边界上满足相容条件K1K2I区II区B2B1Γ相容条件：沿Γ两侧的水头应相等从区域I流出的流量必然等于流入区域II的流量B1上有N1个结点B2上有N2个结点Γ上有M个结点方程数：I区：N1+MII区：N2+M总和：N1+N2+2M未知数：B1：N1B2：N2Γ：2M总和：N1+N2+2M