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1、一李雅普洛夫稳定性理论李雅普洛夫意义下的稳定性李雅普洛夫第一法李雅普洛夫第二法线性定常系统李雅普洛夫稳定性分析1.李雅普洛夫意义下的稳定性平衡状态满足即x不再随时间变化对线性定常系统：其平衡状态满足当A非奇异，只有唯一零解（即零状态）；当A奇异，有无穷多个平衡点。对非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。李雅普洛夫意义下的稳定性李雅普洛夫意义下的稳定性对平衡状态xe，初始状态x0，若对任意规定ε，在t→0过程中，满足：则平衡点xe是在李雅普洛夫意义下是稳定的。δ与ε有关，通常也与t0有关。如果δ与t0无关，则为一致稳定。李雅普洛夫意义下的稳定性渐近稳定设平衡点xe是在李雅普洛夫意义下是稳定的，同
2、时满足则称该平衡状态是渐近稳定的。李雅普洛夫意义下的稳定性大范围（全局）渐近稳定当初始条件扩展至整个状态空间，平衡状态均具有渐近稳定性，称为大范围（全局）渐近稳定。对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是大范围渐近稳定的。非线性系统的稳定性往往与初识条件有关。李雅普洛夫意义下的稳定性不稳定性如果对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，不管其多么小，在S(δ)内总存在一个状态x0，使得由该状态出发的轨迹超出S(ε)，则平衡状态xe称为是不稳定的。2.李雅普洛夫第一法利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即间接法。定理1对线性定常系统有：系统的每一平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的充要条件为：A的所有
3、特征值均具有非正实部，且具有零实部的特征值为单根；系统的唯一平衡状态xe=0是渐近稳定的充要条件为：A的所有特征值均具有负实部。3.李雅普洛夫第二法又称直接法，引入一个能量函数（即李雅普洛夫函数），利用该函数及其导数函数的符号特征直接对平衡状态的稳定性做出判断。能量函数总大于零；对稳定系统，能量函数具有衰减特性，即能量函数的导数应小于零。李雅普洛夫第二法定理2对连续时间非线性时变自由系统其中f(0,t)=0为系统的平衡状态。如果存在一个对x和t具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t),V(0,t)=0,且满足如下条件：V(x,t)正定且有界，即有V(x,t)对时间t的导数负定且有界，即有则系统
4、原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。李雅普洛夫第二法定理3对定常系统其中f(0)=0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x),V(0)=0,对于状态空间的一切非零x满足：V(x)为正定的；V(x)的导数为负定的；当则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。李雅普洛夫第二法定理4对定常系统其中f(0)=0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x),V(0)=0,对于状态空间的一切非零x满足：V(x)为正定的；V(x)的导数为半负定的；对任意不恒为0；当则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。李雅普洛夫第二法定理5（系统不稳定判定）对时变或定常系统，如果存在一个具有连续一阶（偏）导
5、数的标量函数V(x,t),或V(x),（其中V(0,t)=0,V(0)=0），对于状态空间中围绕原点的某个域的一切x和一切t>t0满足：V(x,t)正定且有界，或V(x)为正定的；V(x,t)对时间t的导数正定且有界，V(x)的导数为正定的；则系统平衡状态为不稳定。李雅普洛夫第二法举例【例1】设系统状态方程为沿任意轨迹V(x)对时间的导数【解】显然，原点为系统的唯一平衡状态选一正定的标量函数即为负定的当故系统在原点处是大范围渐近稳定的。李雅普洛夫第二法举例【例2】设系统状态方程为【解】显然，原点为系统的唯一平衡状态选一正定的标量函数V(x)对时间的导数为半负定检验是否不恒为0当故系统在原点处是
6、大范围渐近稳定的。4.线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析线性定常连续系统渐近稳定性的判定对系统选择一正定二次型函数P为正定对称矩阵只要矩阵Q正定，则系统是大范围渐近稳定的。线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析定理6对线性定常系统其渐近稳定的充要条件为：存在一个正定对称矩阵P，使得由ATP+PA=－Q所确定矩阵Q为正定矩阵。其中，xTPx即为系统的一个Liyapunov函数。定理7对上述线性定常系统，其渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的正定矩阵Q，存在唯一的正定对称矩阵P，使ATP+PA=－Q成立。线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析【例2】设系统状态方程为：求系统的Liyapunov函数【解】设
7、则由ATP+PA=－Q可解得线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析显然，为正定矩阵验证：故系统渐近稳定线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析线性定常离散系统渐近稳定性的判定设线性定常离散系统状态方程为：取正定二次型函数线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析定理8对上述线性定常离散系统，其渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的正定矩阵Q，存在唯一的正定对称矩阵P，使ΦTPΦ－P=－Q成立。相关概念及分析求解方法同
