洛朗级数展开习题精讲课件.ppt

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1、§3.5洛朗(Laurent)级数展开已知：当f(z)在圆

2、z-z0

3、

4、z-z0

5、

6、无限)部分。收敛区域(环)的确定：正则部分收敛(圆)区域为：负幂部分令则设→即负幂部分在

7、z-z0

8、=R2的圆外收敛。由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散性来定义原级数的敛散性。规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和。讨论：(1)若R1R2，则双边幂级数就在R2<

9、z-z0

10、

11、z-z0

12、

13、的和函数是一解析函数，并且在任意较小的闭圆环上一致收敛。定理2：设双边幂级数的收敛环B为R2<

14、z-z0

15、

16、z-z0

17、

18、z-z0

19、≤R2上，存在奇点(即内圆以内存在奇点)；(2)洛朗系数，因为成立的条件是f(z)在C内解析；(3)洛朗展开的唯一性；(4)如果只有

20、环心z0是f(z)的奇点，则内圆半径可以任意小，同时z可以无限地接近z0点，这时就称为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛朗展开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)，而在去心邻域0<

21、z-z0

22、<ε内解析，则称z=z0是f(z)的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内，总有除z0外的奇点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域R2<

23、z-z0

24、

25、数运算、代换、求导和积分等方法展开，这样往往更便利(即间接展开法)。同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一般不同；由洛朗级数的唯一性可知，同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。例1求函数在圆环的洛朗级数。解注意用到已有的展开：作业题的错误集中在后半边的展开，特别是原因应该是没有熟练掌握已有的展开例2将函数在指定去心领域内展成洛朗级数并指出收敛范围我们知道在原点邻域上的展开式为把z全换成1/z,可得到以下结果:用1-z去换上式中的z得到：即则用到的已知的展开：注意我们知道在原点邻域上的展开式为所以注：以上每项分别是等的展开，继续计算展开相乘得结果应当指出,根据定理公式直接求一

26、个函数的洛朗级数是很困难的必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级数通过求导得到,但是根据洛朗级数的唯一性,可以利用已知函数如等的泰勒展开式和幂级数的运算,特别是代数运算,变量代换,求导和积分等方法求一些初等函数在指定圆环内的洛朗级数,直接利用公式只是个别情况!附录：常见函数泰勒展开谢谢观看再见