第3课时——函数的表示方法(1)教师版

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1、听课随笔第三课时函数的表示方法列表法解析法图象法知识网络函数的表示方法分段函数学习要求1．理解和掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法；2．能根据条件求出两个变量之间的函数解析式；3．培养抽象概括能力和解决问题的能力．4.了解分数函数的定义；5.学会求分段函数定义域、值域；6.学会运用函数图象来研究分段函数；自学评价1．用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法，其优点是函数的输入值与输出值一目了然；用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法（这个等式通常叫函数的解析表达式，简称解析式），其优点是函数关系清楚，容易从自变量求

2、出其对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质；用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法，其优点是能直观地反映函数值随自变量变化的趋势．2．二次函数的形式：（1）一般式：；（2）交点式：，其中，分别是的图象与轴的两个交点的横坐标；（3）顶点式：，其中是抛物线顶点的坐标；3.求函数解析式方法：（1）待定系数法（已知函数类型,求函数解析式)例如，求二次函数解析式的基本步骤是：第一步：设出函数的一般式（或顶点式、交点式）；第二步：代入已知条件，列方程（组）；第三步：通过解方程（组）确定未知系数；（2）换元法：（3）配方法：4.分段函数：（1）分段函数的定义；在

3、函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；（2）分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)（3）分段函数图象：应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；例：购买某种饮料听，所需钱数元．若每听元，试分别用列表法、解析法、图象法将表示成的函数.解：解析法：；/听1234/元2468列表法：63482124图象法：【精典范例】例1．（1）已知一次函数满足，图象过点，求；（2）已知二次函数满足，，图象过原点，求；（3）已知二次函数与轴的两交点为，，且，求；（4）已

4、知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点．求例2：分别求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象与轴的两交点为，，且；（2）图象的顶点是，且经过原点。答案：（1）；（2）例3：函数在闭区间上的图象如下图所示，则求此函数的解析式．【解】由图象可知，当时，；当时，，所以例4：（1）已知，；（2）已知，求．【解】（1）；（2）。点评:已知的解析式，求时，将中的用代替，这时中的相当于中一个取值；已知的解析式，求时，常用配凑法或换元法；例5：已知，求函数的解析式。（答案：）例6：已知一个函数的解析式为，它的值域为，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数。听课随笔思维点拨

5、：解决例11这类问题，可以先写出自己熟悉的一个函数，然后再改变定义域。如本题可先写出满足条件的函数，注意到函数图象关于轴对称，设是的任意一个子集，则形如的函数都满足条件。追踪训练一1．若，则的解析式为。（答案：）2．已知，，，。答案：，。3.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x+1)－f(x)=2x，求f(x).解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由f(0)=1得c=1，由f(x+1)－f(x)=2x，得a(x+1)2+b(x+1)+1－(ax2+bx+1)=2x整理，得2ax+(a+b)=2x所以所以所以f(x)=x2－x+1【知识延伸

6、】一、分段函数实际生活中函数解析式问题例7：某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，再把车速表示为时间的函数.【解】从地到地所需时间为，从地到地所需时间为，所以，当时，；当时，；当时，；所以，例8：某市出租汽车收费标准如下：在以内（含）路程按起步价元收费，超过以外的路程按元/收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式；并画出图象．【解】设路程为，收费为元，则，即613248图象如图：点评:分段函数是指函数的解析式是分段表示的。分段是对于定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应法则不一

7、样。分段函数是一个函数，而不是几个函数。含有绝对值的解析式例9：已知函数y=

8、x－1

9、+

10、x+2

11、(1)作出函数的图象。(2)写出函数的定义域和值域。【解】：(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)所以已知函数可写为分段函数形式：y=

12、x－1

13、+

14、x+2

15、=在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图象略）(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，+∞）二次函数在区间上的最值问题例10：已知函数f(x

16、)=2x2－2ax+3在区间[－1，1