平面几何问题的证明证题的一般思路证题的一般思路课件.ppt

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1、中学几何研究第五章2021/7/281第五章平面几何问题的证明第一节证题的一般思路证题的一般思路:试误式思路与顿误式思路试误式思路:认真审题,分清条件和结论,挖掘所涉及的一些概念的内涵,利用丰富的联想和化归的思想,把要解决的问题归结为已熟悉的其他证法的类型。如果用困难,就尝试对问题的条件或结论作某些变更,转化为某一种类型。如果转化过程中碰到障碍,缺乏某些因素,就尝试引入辅助量或作出辅助线、图来进行沟通,纠正尝试中的错误,最后获得原问题的证明。2021/7/282直接式:由命题的题设出发,根据定义、公理、定理进行一系列

2、正面的逻辑推理,最后得出命题的证明。又有“综合法”和“分析法”之分.间接式:有些命题,往往不易甚至不能直接证明。这时,不妨证明它的等效命题,间接地达到目的。这种证题思路称为间接式。反证法、同一法就是两种典型的间接式思路证题方法。反证法又分归谬法和穷举法;同一法。试误式思路又常分为直接式和间接式。2021/7/283就是证题时,一下子不能马上行找到他的证明思路,但当通过有选择地带着形象识别的眼光反复地分析他,通过动员和组织、分离和整合题目中已知的信息,辨认和联想题目中的各种因素时,则可以在经过一系列的“脑风暴”之后,在

3、某一其他因素或者其他问题的激发下,或运用直觉想象,突然在脑子中形成一个念头或闪现出对证题的提示,从而顿时获得简捷而优美的证题思路。见P75例1.顿误式思路2021/7/2841,面积与面积法证题张景中院士指出,抓住面积,不但能把平面几何课程变得更容易学,而且使得几何问题求解变得更有趣味。在求解平面几何问题的时候,根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系,用面积或者面积比表示有关几何量或其比,从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系,并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法,称之为面积法

4、。第二节面积法与面积坐标常用公式见P84-85页.证明P85例1和例2.2021/7/2853.面积坐标如果引入带正负号的面积(规定图形的边界走向是逆时针方向则面积为正,走向是顺时针方向则面积为负)就可以引入面积坐标了。在平面上任意取一个定向三角形△A1A2A3,称为“坐标三角形”。A1,A2,A3称为基点。2.消点思想与消点法证题(见第十章)对平面上任意一点M,就有了三个三角形的带号面积:S1=S△MA2A3,S2=S△MA3A1,S3=S△MA1A2.2021/7/286S1,S2,S3称为点M的三个”坐标分量”

5、,且满足S1+S2+S3=S△A1A2A3。如果给出三者之比S1:S2:S3=μ1:μ2:μ3,且μ1=Si/(S1+S2+S3)(i=1,2,3),则称(μ1:μ2:μ3)为M=(S1,S2,S3)的齐次面积坐标。通常(μ1:μ2:μ3))称为M的重心坐标。当S1+S2+S3=S=1时,面积坐标也就是规范重心坐标。把三元数组(S1,S2,S3)称为(以△A1A2A3为坐标三角形时)点M的“面积坐标”,记为M=(S1,S2,S3)2021/7/287从而可以用(S1,S2)来表示点M,或用(S1/S,S2/S)称为在

6、坐标系(A3,A3A1,A3A2)之下M的仿射坐标,而A3称为这个仿射坐标的原点。如果︱A3A1︱=︱A3A2︱=1,且∠A1A3A2=90o,则这个仿射坐标系(A3,A3A1,A3A2)叫做笛卡儿坐标系,也就是指常用的直角坐标系。由于知道了M(S1,S2,S3)的两个坐标分量(S1,S2),就可以确定M,2021/7/2881,向量法与向量法证题把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方法称之为向量方法。向量法的特点是形数结合、运算有法可循,因此向量法既有综合法的灵巧,又有坐标法的方便,能把综合法与坐标法有机地结合

7、在一起。第三节向量法与复数法2021/7/289见P90用向量法证明第一节中的例1是很简捷的.2021/7/2810请讲解P94例42,复数法与复数法证题2021/7/28111,关于线段,角的相等(常见方法10种,P96)2,关于平行与垂直(常见方法7+7种,P97-98)3,关于点共线与线共点(常见方法7+60种,P99)第四节几类问题的证明方法4,关于点共圆与圆共点(常见方法7+3种,P100)2021/7/28121,几何轨迹具有某种性质的点的集合称为具有这种性质的点的轨迹。轨迹与几何图形都是点集。但是,图形

8、是知其形(形状)而不知其性(构造规律和性质),轨迹是知其性而不知其形。第五节几何轨迹与尺规作图研究轨迹问题,就是要探求适合一定条件的点的集合形成什么样的图形,使得形和性得到完美统一。2021/7/28131,命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置和大小。2,命题结论中只说出了轨迹图形的形状,但位置和大小或者缺少,或者叙述不全。3.命题结论中只

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