四旋翼动态特性.docx

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1、四旋翼飞行器动态特性与控制方法RandalW.BeardBrighamYoungUniversity2008.2.19日1、参考系本节介绍在不同参考系和坐标系下，飞行器空间朝向的描述方法以及坐标系之间的转化关系。使用多种坐标系是很必要的，主要基于以下原因：l牛顿运动方程是建立在以四旋翼飞机为中心的坐标系之上。l气动力和力矩是作用在机架上面。l加速度计和速率陀螺仪等机载传感器测量的是相对于机身框架的信息。全球定位系统测量的是相对于惯性坐标系的位置，地面速度和航向角。l巡航地点和飞行轨迹等这些飞行任务要求，通常

2、是在惯性坐标系下指定的。此外，地图信息也是基于惯性坐标系的。不同参考坐标系之间转换可以通过两种基本的途径：旋转和平移。1.1节描述了旋转矩阵以及其在坐标系转换中的用法。1.2节描述了用于微型飞行器系统的具体坐标系。1.3节我们推导出了科里奥利公式，它是坐标系平移和旋转变换的基础。1.1旋转矩阵我们先考虑一下图一所示的两个坐标系统。（注：右手坐标系下，从指定的旋转轴的负半轴向正半轴望去，右旋为顺时针旋转，左旋为逆时针旋转）向量P可以在F1和F2坐标系下分别表示为：P=px0i0+py0j0+pz0k0P=px

3、1i1+py1j1+pz1k1令这两种描述方法相等得到：px0i0+py0j0+pz0k0=px1i1+py1j1+pz1k1两侧同时点乘i1，得到:px1=px0*i0∙i1+py0*j0∙i1+pz0*k0∙i1同理可得py1和pz1的表达式，写成矩阵形式：P1=px1py1pz1=i1∙i0i1∙j0i1∙k0j1∙i0j1∙j0j1∙k0k1∙i0k1∙j0k1∙k0px0py0pz1从图一的几何关系中我们得到：P1=R01P0(1)其中：R01=cos⁡(θ)sin⁡(θ)0-sin⁡(θ)cos

4、⁡(θ)0001R01表示从坐标系F0到F1的一个旋转矩阵。用类似的方法处理，坐标系围绕Y轴右旋得到：R01=cos⁡(θ)0-sin⁡(θ)010sin⁡(θ)0cos⁡(θ)坐标系围绕X轴右旋得到：R01=1000cos⁡(θ)sin⁡(θ)0-sin⁡(θ)cos⁡(θ)观察三个旋转矩阵发现，负的正弦项总是出现在只包含0和1的那一行的上面。上面方程中的矩阵R01只是具有更一般性质的旋转矩阵类中的几个例子，旋转矩阵具有以下性质：l（Rab)-1=（Rab)T=Rba（正交矩阵）lRbcRab=Racld

5、et(Rab)=1公式（1）的推导过程表明向量p是一个常量，而且新的坐标系F1是通过将F0右旋θ角度获得的。下面，我们将推导出一个旋转公式，它可以把向量p围绕另一个向量n左旋大小为μ的角度。如下图所示：向量p围绕单位向量n左旋μ角度得到向量q，其中p和n的夹角为∅。根据几何关系得出：OQ=ON+NW+WQ向量ON的模为p向量在单位向量n方向上的投影，方向和n相同，因此：ON=(p∙n)n向量NW的模为NQcosμ=NPcosμ，方向与(p-ON)相同。因此可以得到：NW=(p-(p∙n)n)NPNPcosμ

6、NW=(p-(p∙n)n)cosμ向量WQ的模为NQsinμ=NPsinμ，与p向量和n向量都垂直，并且注意到：NP=

7、p

8、sin⁡(∅)，因此：WQ=p×n

9、p

10、sin⁡(∅)NPsinμWQ=-n×p*sinμ最终我们得到：q=1-cosμp∙nn+cosμp-sin⁡(μ)(n×p)这就是旋转方程。下面我们举个例子：向量p围绕Z轴左旋θ角度得到向量q，根据旋转方程得：q=1-cosθp∙kk+cosθp-sinθk×pq=1-cosθpz0001+cosθpx0py0pz0-sin⁡(θ)-py0px

11、00q=cosθ-sinθ0sinθcosθ0001p=R01p我们注意到旋转矩阵R01可以用两种不同的方式来理解。第一种解释是：它把一个固定的向量p从参考系F0中的坐标表示转换到参考系F1中的坐标表示，F1是F0经过右旋得到的。第二种解释是：在同一参考系之下，它将向量p经过左旋得到一个新的向量q。向量右旋可以通过使用(R01)T。1.2四旋翼参考坐标系对于四旋翼来说有几种坐标系统是我们感兴趣的。在这一节中，我们将定义并且介绍一下几种坐标系统：惯性坐标系，载体坐标系，载体-1坐标系，载体-2坐标系和机身坐标

12、系。在这本书中，我们假设地面是平的，并且不及地球的自转：这个假设对于四旋翼来说是有效的。1.2.1惯性坐标系Fi惯性坐标系是固定在地球上面的坐标系统，原点定义在起始位置。如下图所示：单位向量ii指向北面，ji指向东面，ki指向地心。1.2.2载体坐标系Fv载体坐标系的原点位于四旋翼的质心，坐标轴指向与惯性坐标系的相同。也就是，单位向量iv指向北，jv指向东，kv指向地心。如下图所示：1.2.3载体-1坐标系Fv1