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1、定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且容十分丰富。文过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来
2、的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。1利用定积分求原经济函数问题在经济管理中,由边际函数求总函数(即原函数),一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数,总收入函数以及总利润函数。设经济应用函数u(x)的边际
3、函数为,则有例1?生产某产品的边际成本函数为,固定成本C(0)=10000,求出生产x个产品的总成本函数。解?总成本函数===2?利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个围的改变量,则直接采用定积分来解决。例2已知某产品总产量的变化率为(件/天),求从第5天到第10天产品的总产量。解所求的总产量为(件)3?利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润。解?总成本函数为=总收益函数为R(x)=500x总利润函数为L(x)=R
4、(x)-C(x)==400-2x令=0,得x=200因为(200)<0所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400200--1000=39000(元)。例4?某企业生产x吨产品时的边际成本为(元/吨)。且固定成本为900元,试求产量为多少时平均成本最低?解：?首先求出成本函数,得平均成本函数为求一阶导数令,解得(=-300舍去)。因此,(x)仅有一个驻点=300,再由实际问题本身可知(x)有最小值,故当产量为300吨时,平均成本最低。例5、某煤矿投资2000万元建成，在时刻t的追加成本和增加收益分别为（百万元/年）试确定该矿的何时停止生产可获得最大
5、利润？最大利益是多少？解：有极值存在的必要条件，即可解得t=8故=8时是最佳终止时间，此时的利润为因此最大利润为18.4百万元4?利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中,一般说来,商品价格低,需求就大;反之,商品价格高,需求就小,因此需求函数Q=f(P)是价格P的单调递减函数。同时商品价格低,生产者就不愿生产,因而供给就少;反之,商品价格高,供给就多,因此供给函数Q=g(P)是价格P的单调递增函数。由于函数Q=f(P)与Q=g(P)都是单调函数,所以分别存在反函数P=与P=,此时函数P=也称为需求函数,而P=也称为供给函数。需求曲线(函数)P=与供给曲线(函数)P
6、=的交点A(P*,Q*)称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P*称为均衡价格,即对某商品而言,顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品,由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。假设消费者以较高价格P=购买某商品并情愿支付,Q*为均衡商品量,则在[Q,Q+]消费者消费量近似为,故消费者的总消费量为,它是需求曲线P=在与Q*之间的曲边梯形OQ*的面积,如图如果商品是以均衡价格P*出售,那么消费者实际销售量为P*Q*,因此,消费者剩余为它是曲边三角形的面积。如果生产者以均衡价格P*出售某商品,而没有以他们本来计划的
7、以较低的售价出售该商品,由此所获得的额外收入,称它为生产者剩余。同理分析可知:P*Q*是生产者实际出售商品的收入总额,是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额,故生产者剩余为它是曲边三角形的面积。例6设某产品的需求函数是P=。如果价格固定在每件10元,试计算消费者剩余。解?已知需求函数P=,首先求出对应于P*=10的Q*值,令=10,得Q*=10000。于是消费者剩余为?==(30Q-=66666.67(元)。例7?设某商品的供给函数为P=250+3Q+0.01,如果产品的单价为425元,计算生产者剩余。解?首先求出
