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1、第二节二、直角坐标系下二重积分的计算法三、极坐标系下二重积分的计算法二重积分的计算第六章一、二重积分的几何意义四、曲线坐标下二重积分的计算法1求体积:类似定积分解决问题的思想:2.1二重积分的几何意义设底：xOy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面.“分,匀,合,精”（有界闭区域）二重积分：其几何意义就是曲顶柱体的体积2曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作（X-型区域）3同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记作（Y-型区域）4且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X-型区域则若D为Y-型区域则二
2、、直角坐标系下二重积分的计算法5当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于6说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则7例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X-型区域,则解法2.将D看作Y-型区域,则8例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则9例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分
3、方便,还需交换积分顺序.10例4.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y-型区域,则11例5.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,12例6.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为13三、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线=常数,分划区域D为14即15设则特别,对16此时若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)17例7.计算其中解:在极坐标系下原
4、式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.18注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,①故①式成立.又19例8.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知20四、曲线坐标下二重积分的计算法在2.3段中我们看到，运用极坐标变换有时候可以使二重积分的计算简化．特殊的坐标变换．使用其它的坐标变换．坐标变换下计算二重积分的方法，也就是二重积分的一般换元法．但是，极坐标只是一种为了计算二重积分，有时候需要下面我们来介绍在一般形式的21作变换若以下三个条件满足,则称变换(2.13)为正则变换.222324图6.2025u
5、曲线族和v曲线族.曲线坐标.2627282930例2.10求解四条直线交点的坐标分别为从上图中能看出,都要分成三部分，比较麻烦.图6.21不论先对x还是先对y积分,积分区域所以可改用曲线坐标.31图6.223233值得一提：3435例2.11计算解由图6.23可见,图6.23如果我们用直角坐标直接计算在此变换下,36图6.233738例2.12计算解由于积分域是椭圆,如果采用极坐标变换，即39广义极坐标变换.40
