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时间:2020-08-03
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1、第四节 基本不等式1.基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2.不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数围问题.知识点 基本不等式1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立.(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x,y∈(0,+∞),且xy=P(定值).那么当x=y时,x+y有最小值2.(简记:“积定和最小”)(2)
2、如果x,y∈(0,+∞),且x+y=S(定值).那么当x=y时,xy有最大值.(简记:“和定积最大”)易误提醒 (1)求最值时要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三是考虑等号成立的条件.(2)多次使用基本不等式时,易忽视取等号的条件的一致性.必记结论 活用几个重要的不等式:(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)+≥2(a,b同号).(3)ab≤2(a,b∈R).(4)2≤(a,b∈R).(5)≥≥≥(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).[自测练习]1.下列不等式中正确的是( )A.若a∈R,则a
3、2+9>6aB.若a,b∈R,则≥2C.若a,b>0,则2lg≥lga+lgbD.若x∈R,则x2+>1解析:∵a>0,b>0,∴≥.∴2lg≥2lg=lg(ab)=lga+lgB.答案:C2.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( )A.最大值为0 B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4解析:∵x<0,∴-x>0,∴x+-2=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=-,即x=-1时等号成立.答案:C3.下列函数中,最小值为4的是( )A.y=x+B.y=sinx+(04、ex+4e-xD.y=+解析:∵y=x+中x可取负值,∴其最小值不可能为4;由于02=4,其最小值大于4;由于ex>0,∴y=ex+4e-x≥2=4,当且仅当ex=2时取等号,∴其最小值为4;∵≥1,∴y=+≥2,当且仅当x=±1时取等号,∴其最小值为2,故选C.答案:C4.已知x>1,则x+的最小值为________.解析:∵x>1,∴x-1>0,∴x+=(x-1)++1≥4+1=5,当且仅当x-1=即x=3时等号成立.答案:5考点一 利用基本不等式证明简单不等式5、 (6、1)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≥9.(2)设a,b均为正实数,求证:++ab≥2.[证明] (1)法一:∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+=1+=2+.同理,1+=2+.∴==5+2≥5+4=9.当且仅当=,即a=b=时取“=”.∴≥9,当且仅当a=b=时等号成立.法二:=1+++=1++=1+,∵a,b为正数,a+b=1,∴ab≤2=,当且仅当a=b=时取“=”.于是≥4,≥8,当且仅当a=b=时取“=”.∴≥1+8=9,当且仅当a=b=时等号成立.(2)由于a,b均为正实数,所以+≥2=,当且仅当=,7、即a=b时等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时等号成立,所以++ab≥+ab≥2,当且仅当即a=b=时取等号. 考点二 利用基本不等式求最值8、 (1)已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是( )A.2 B.2C.2D.4(2)(2015·高考卷)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为________.[解析] (1)由lg2x+lg8y=lg2得,2x×23y=2x+3y=2,即x+3y=1,+=×(x+3y)=2++≥2+2=4,当且仅当即最小值为4.故选9、D.(2)(+)2=a+b+4+2·≤9+2·=9+a+b+4=18,所以+≤3,当且仅当a+1=b+3且a+b=5,即a=,b=时等号成立.所以+的最大值为3.[答案] (1)D (2)3 1.若两个正实数x,y满足+=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值围是( )A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)解析:x+2y=(x+2y)=2+++2≥8,当且仅当=,即4y2=x2时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,m2+210、m-8<0,解得-40,则+-=t-t2≤(当且仅当t
4、ex+4e-xD.y=+解析:∵y=x+中x可取负值,∴其最小值不可能为4;由于02=4,其最小值大于4;由于ex>0,∴y=ex+4e-x≥2=4,当且仅当ex=2时取等号,∴其最小值为4;∵≥1,∴y=+≥2,当且仅当x=±1时取等号,∴其最小值为2,故选C.答案:C4.已知x>1,则x+的最小值为________.解析:∵x>1,∴x-1>0,∴x+=(x-1)++1≥4+1=5,当且仅当x-1=即x=3时等号成立.答案:5考点一 利用基本不等式证明简单不等式
5、 (
6、1)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≥9.(2)设a,b均为正实数,求证:++ab≥2.[证明] (1)法一:∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+=1+=2+.同理,1+=2+.∴==5+2≥5+4=9.当且仅当=,即a=b=时取“=”.∴≥9,当且仅当a=b=时等号成立.法二:=1+++=1++=1+,∵a,b为正数,a+b=1,∴ab≤2=,当且仅当a=b=时取“=”.于是≥4,≥8,当且仅当a=b=时取“=”.∴≥1+8=9,当且仅当a=b=时等号成立.(2)由于a,b均为正实数,所以+≥2=,当且仅当=,
7、即a=b时等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时等号成立,所以++ab≥+ab≥2,当且仅当即a=b=时取等号. 考点二 利用基本不等式求最值
8、 (1)已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是( )A.2 B.2C.2D.4(2)(2015·高考卷)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为________.[解析] (1)由lg2x+lg8y=lg2得,2x×23y=2x+3y=2,即x+3y=1,+=×(x+3y)=2++≥2+2=4,当且仅当即最小值为4.故选
9、D.(2)(+)2=a+b+4+2·≤9+2·=9+a+b+4=18,所以+≤3,当且仅当a+1=b+3且a+b=5,即a=,b=时等号成立.所以+的最大值为3.[答案] (1)D (2)3 1.若两个正实数x,y满足+=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值围是( )A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)解析:x+2y=(x+2y)=2+++2≥8,当且仅当=,即4y2=x2时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,m2+2
10、m-8<0,解得-40,则+-=t-t2≤(当且仅当t
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