同济第六版《高等数学》教案WORD版第02章导数与微分.pdf

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1、第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关

2、系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。§2.1导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为ss是t的函数sf(t)求动点在时刻t的速度0考虑比值ssf(t)f(t)00tttt00这个比值可认为是动点在时间间隔tt内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中0也可

3、用来说明动点在时刻t的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令tt0取比值00f(t)f(t)0的极限如果这个极限存在设为v即tt0f(t)f(t)vlim0tttt00这时就把这个极限值v称为动点在时刻t的速度02．切线问题设有曲线C及C上的一点M在点M外另取C上一点N作割线MN当点N沿曲线C趋于点M时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线C就是函数yf(x)的图形现在要确定曲线在点M(x,y)(yf(x))处的切线只要定出切00

4、00线的斜率就行了为此在点M外另取C上一点N(x,y)于是割线MN的斜率为yyf(x)f(x)tan00xxxx00其中为割线MN的倾角当点N沿曲线C趋于点M时xx如果当x时上式的极限存在00设为k即f(x)f(x)klim0xxxx00存在则此极限k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里ktan其中是切线MT的倾角于是通过点M(x,f(x))且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线00二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看

5、出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限f(x)f(x)lim0xxxx00f(x)f(x)令xxx则yf(xx)f(x)f(x)f(x)xx相当于x0于是lim000000xxxx00成为yf(xx)f(x)lim或lim00xxx0x0定义设函数yf(x)在点x的某个邻域内有定义当自变量x在x处取得增量x(点xx仍在该000邻域内)时相应地函数y取得增量yf(xx)f(x)如果y与x之比当x0时的极限存在

6、00则称函数yf(x)在点x处可导并称这个极限为函数yf(x)在点x处的导数记为y

7、即00xx0yf(xx)f(x)f(x)limlim000xxx0x0dydf(x)也可记为y

8、或xx0dxdxxxxx00函数f(x)在点x处可导有时也说成f(x)在点x具有导数或导数存在00导数的定义式也可取不同的形式常见的有f(xh)f(x)f(x)lim000hh0f(x)f(x)f(x)lim00xxxx00在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变

9、化“快慢”问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述f(xx)f(x)如果极限lim00不存在就说函数yf(x)在点x处不可导x0x0f(xx)f(x)如果不可导的原因是由于lim00xx0也往往说函数yf(x)在点x处的导数为无穷大0如果函数yf(x)在开区间I内的每点处都可导就称函数f(x)在开区间I内可导这时对于任一xI都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数dydf(x)yf(x)的

10、导函数记作yf(x)或dxdx导函数的定义式f(xx)f(x)f(xh)f(x)ylimlimxhx0h0f(x)与f(x)之间的关系0函数f(x)在点x处的导数f(x)就是导函数f(x)在点xx处的函数值即00f(x)f(x)