电磁学课后习题.pdf

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1、第五章静电场5－9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：(1)在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为1QEπε4r2L20(2)在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为1QE2πεr4r2L20若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元，其电荷为＝，它在点P的电场强度为1dqdEe4πεr2r0整

2、个带电体在点P的电场强度EdE接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1)若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，EdEiL(2)若点P在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是EdEjsinαdEjyL1/26dq证(1)延长线上一点P的电场强度E，利用几何关系r′＝r－x统一积分变L2πεr20量，则1QdxQ111QL/2E电场强度的方向P-L/24πεLrx24πεLrL/

3、2rL/2πε4r2L2000沿x轴.(2)根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴，大小为sinαdqEdEL4πεr20利用几何关系α＝′，rr2x2统一积分变量，则1rQdxQ1L/2E4πε2/32πεr-L/2Lx2r24r2L200当棒长L→∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P点电场强度1Q/LElim2πεr14r2/L2l0λ2πεr0此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r22＜＜1，带电长直细棒可视为

4、无限长带电直线.5－14设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.分析方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即ΦEdSsS方法2：作半径为R的平面S′与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理2/26EdS1q0Sε0这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量.因而ΦEdSEdSSS解1由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有ΦEdSEdS

5、SS依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元的方向，ΦEπR2cosππR2E解2取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①EEcosesincosθesinθsineθrdSR2sinθdθderΦEdSER2sin2θsindθdSSππER2sin2θdθsind00πR2E5－17设在半径为R的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为ρkr0rRρ0rRk为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.分析通常有两种处理

6、方法：(1)利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强3/26度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有EdSE4πr2S1根据高斯定理EdSρdV，可解得电场强度的分布.ε0(2)利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为dqρ4πr2dr，每个带电球壳在壳内激发的电场dE0，而在球壳外激发的电场dqdEe4πεr2r0由电场叠加可解得带电球体内外的电

7、场分布ErrdE0rR0ErRdErR0解1因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理1EdSρdV得球体内(0≤r≤R)ε01πkrEr4πr2kr4πr2drr4ε0ε00Erkr2e4εr0球体外(r＞R)1πkREr4πr2kr4πr2drr4ε0ε00ErkR2e4εr0解2将带电球分割成球壳，球壳带电dqρdVkr4πr2dr由上述分析，球体内(0≤r≤R)1kr4πr2drkr2E

8、rree04πεr2r4εr00球体外(r＞R)1kr4πr2drkR2ErRee04πεr2r4εr2r004/265－20一个内外半径分别为R和R的均匀带电球壳，总电荷为Q，球壳外同心罩一个121半径为R的均匀带电球面，球面带电荷为Q.求电场分布.电场强度是否为离球心距离r的32连续函数？试分析.分析以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径