马尔可夫分析课件.ppt

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1、第一节引言★1907年由俄罗斯数学家马尔可夫（A.Markov）提出，并由蒙特-卡罗(Monte-Carlo)加以发展。★用于分析随机事件未来发展变化的趋势，即利用某一变量的现状和动向去预测该变量未来的状态及动向，以预测未来某特定时期可能发生的变化，以便采取相应的对策。★内容：马尔可夫过程、马尔可夫链马尔可夫分析设某地居民的牛奶供应由A、B、C三厂负责，每月订一次，假定牛奶固定销售给1000户顾客，要订哪厂牛奶由顾客自己选择。因广告宣传、服务质量等原因，用户会改换厂家。假设有6月份三个厂销售情况的市场调查记录，具体统计资料如下表所示：2904535300C4905040500B220406

2、0200A7月1日顾客数失得6月1日顾客数六月份顾客的变化牛奶厂例12904535300C4905040500B2204060200A7月1日顾客数失得6月1日顾客数六月份顾客的变化牛奶厂得失值及其概率2006月1日顾客数A牛奶厂7月1日顾客数BC300500490220290ABC160352520450202015255将上表的所得情况用概率矩阵的形式进行描述，则有AAC维持和损失BCB维持和获得根据以上数据可做以下工作：①预测未来某时刻各销售者的市场占有率；③预测市场是否会出现市场平衡状态（稳定市场份额）；②预测将来销售者的市场份额的得失比率；④按对市场份额得失分析销售者的推销活动，

3、指导厂家促销。根据以上数据预测8月1日A、B、C三厂的市场占有率，则8月1日的状态为A厂保持率C厂转入率B厂转入率其中，向量为各厂7月份的市场占有份额（订户数与总订户数之比），则8月份A厂拥有全部顾客的23.4%，B厂为48.3%，C厂为28.3%。第二节马尔可夫链马尔可夫链1.定义：2.齐次马尔可夫链一步转移概率具有以下性质：把各状态之间的一步转移概率排成矩阵，称为状态矩阵每个状态i对应状态矩阵P的第i行。例3：（天气预报问题）三、k步转移概率与k步转移矩阵★k步转移概率系统从状态i恰好经k步转移到状态j的概率。★k步转移矩阵例4：某商店对前一天来店分别购买A、B、C牌号的顾客各100名

4、的购买情况进行统计（每天都购买一包），统计结果如下表所示：今天购买情况顾客数量前次购买品牌ABCABC202030507030301040假定一位顾客在第一天购买牌号A的香烟，试问他在第三天购买牌号B的概率是多少呢？——求二步转移概率根据概率乘法公式与互斥性得更一般地，可得齐次马氏链的二步转移概率及二步转移矩阵上例中二步转移矩阵进一步，还有下式成立（切普曼-柯尔莫哥洛夫方程）：应用切普曼-柯尔莫哥洛夫方程易知：例5:于是，两步转移概率矩阵为四步转移概率矩阵为初始概率分布记为第k步转移概率记为由乘法公式得写成向量形式为：四、稳态概率1.定义：2.性质：★稳态概率分布与初始分布无关。★而随着步

5、数的增大，有性质2可以这样理解由于由上式知，注：若转移矩阵为正规随机矩阵，则系统就必然存在平衡状态。性质2同时给出了一个求解稳态概率向量的方法求解上述方程组，即得稳态概率向量X例6：一步转移矩阵综上所述，一般的齐次马尔可夫链具有如下性质：③①④②五、马尔可夫分析应用实例解：上月购买A公司产品的顾客中，本月将有70%仍买A公司的产品，上月购买B公司产品的顾客中，本月将有10%转买A公司产品；上月购买C公司产品的顾客中，本月将有5%转买A公司产品。因此A公司产品本月占据市场分额为描述下月各公司产品占据市场分额的概率向量为描述一年后各公司产品占据市场分额的概率向量为P是正规随机矩阵，故此概率向量

6、近似于稳态概率，求解方程第四节吸收马尔可夫链一、吸收马尔可夫链★吸收态★吸收马尔可夫链例9：甲、乙两人进行比赛，每局比赛中甲胜的概率是p，乙胜的概率是q，和局的概率是r(p+q+r=1)。每局赛后胜者记“+1”分，负者记“-1”分,和局不记分，当有一个获得2分时结束比赛。其余三个非吸收态都可能经若干步转移后到达吸收态。★吸收马氏链将被吸收的概率为1，或说吸收马氏链n步后，到达非吸收态的概率趋向于零。（被吸收：过程达到吸收态）对于吸收马氏链，感兴趣的是如下三个问题：①过程被吸收前，在非吸收态之间转移的平均次数是多少？②过程从非吸收态出发到达吸收态的平均步数是多少？③过程从非吸收态出发最终

7、进入吸收态的概率是多少？对于一个有r个吸收态和s个非吸收态的吸收马氏链，经过适当排列（将吸收态集中在一起排列在前面）的一步转移概率矩阵P总可以表示为如下的标准形式：例10：解：该过程是一个吸收马氏链，它的转移概率矩阵P的标准形式为其中于是由N知，从状态2出发，在吸收前到达状态1、2、3的平均步数分别为1、2、1。对于一个具有非吸收态的吸收马氏链，令c是有s（非吸收态个数）个分量为1的列向量，则向量t＝Nc具有的各个分量是