区间类型动态规划 课件.ppt

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1、区间类动态规划合并类动态规划的特点合并：意思就是将两个或多个部分进行整合，当然也可以反过来，也就是是将一个问题进行分解成两个或多个部分。特征：能将问题分解成为两两合并的形式求解：对整个问题设最优值，枚举合并点，将问题分解成为左右两个部分，最后将左右两个部分的最优值进行合并得到原问题的最优值。有点类似分治算法的解题思想。典型试题：整数划分，凸多边形划分、石子合并、多边形合并、能量项链等。整数划分给出一个长度为n的数要在其中加m-1个乘号，分成m段这m段的乘积之和最大m

2、这样最终的数值将会尽可能大。但有反例。如191919分成3段19*19*19=6859但191*91*9=156429，显然乘积更大。将一个数分成若干段乘积后比该数小，因为输入数不超过20位，因此不需高精度运算。证明：假设AB分成A和B,且A,B<10,则有AB=10*A+B>A*B(相当于B个A相加)同理可证明A,B为任意位也成立动态规划可以先预处理出原数第i到j段的数值A[i,j]是多少，这样转移就方便了，预处理也要尽量降低复杂度。F[i，j]表示把这个数前i位分成j段得到的最大乘积。F[i,j]=F[k,j-1]*A[k+1

3、,i],1

4、,2),3)和(1,(2,3))如果有k堆石子呢？不管怎么合并，总之最后总会归结为2堆，如果我们把最后两堆分开，左边和右边无论怎么合并，都必须满足最优合并方案，整个问题才能得到最优解。如下图：动态规划设t[i,j]表示从第i堆到第j堆石子数总和。Fmax(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最大的得分Fmin(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最小的得分同理，Fmax[i,i]=0，Fmin[i,i]=0时间复杂度为O(n3)优化由于石子堆是一个圈，因此我们可以枚举分开的位置，首先将这个圈转化为链，因此总的时间复

5、杂度为O(n4)。这样显然很高，其实我们可以将这条链延长2倍，扩展成2n-1堆，其中第1堆与n+1堆完全相同，第i堆与n+i堆完全相同，这样我们只要对这2n堆动态规划后，枚举f(1,n),f(2,n+1),…,f(n,2n-1)取最优值即可即可。时间复杂度为O(8n3),如下图：猜想合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置s[i,j]要么等于i+1，要么等于j-1，也就是说最优合并方案只可能是：{(i)(i+1…j)}或者{(i…j-1)(j)}证明设合并第i堆到第j堆石子的断开位置p，且i

6、q。如下图；情况1：t[i,p]≤t[p+1,j]合并方案1：{[(i…q)(q+1...p)](p+1…j)}，它的得分:F1=Fmax(i,q)+Fmax(q+1,p])+Fmax(p+1,j)+t[i,j]+t[i,p]合并方案2:{(i…q)[(q+1...p)(p+1…j)]}，它的得分：F2=Fmax[i,q]+Fmax[q+1,p]+Fmax[p+1,j]+t[i,j]+t[q+1,j]由于q

7、尽可能靠左边决策。情况2：t[i,p]>t[p+1,j]与情况1是对称。（证明略）状态转移方程设t[i,j]表示从第i堆到第j堆石子数总和。Fmax(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最大的得分Fmin(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最小的得分同理，Fmax[i,i]=0，Fmin[i,i]=0时间复杂度为O(n2)能量项链在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等

8、于后一颗珠子的头标记。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m×r×n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。显然，对于一串项链不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设