区间图弦图和完美图课件.ppt

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1、区间图、弦图和完美图介绍内容介绍在本讲中将主要介绍区间图(intervalgraph)区间图上的色数(chromaticnumber)和最大团问题(maximumclique)完美消除序列(perfecteliminationorder)弦图(chordalgraph)及其判定区间图的判定完美图(perfectgraph)区间图–POJ1083[POJ1083]MovingTables一个公司有400个房间，布局如上图所示。编号为奇数的房间在背面，编号为偶数的房间在南面，中间被一条走廊隔开。现在公司要将某些桌子从一个房间移动到另一个房间。走廊很窄，如果两张桌子需要经过同一段走廊的

2、话，那么它们不能同时移动。每移动一张桌子需要10分钟。问最少需要多久才能将所有桌子移动完毕。区间图–POJ1083Moving：2->45->1412->106->124615141210求一般图的色数是NP难问题！区间图–定义一个区间是有两个端点的线段，端点可以是开的或闭的。给定一些区间，可以定义一个相交图。定义1：给定一些区间，定义一个相交图的每个顶点v代表一个区间Iv,顶点(v,w)间有边，当且仅当Iv交Iw非空。定义2：一个图G是区间图，如果它是若干区间的相交图。区间图–例区间图的例子不是区间图的例子区间图–顶点排序定理1：开区间、闭区间、半开闭区间对应的区间图是等价的。

3、证明思路：由于区间在连续的实数轴上，我们可以对区间做小量伸缩而不影响相交情况区间图–顶点排序推论1：任何区间图G都存在一个没有重点的区间表示于是我们可以将G的顶点按其代表区间的左端点排序，称之为区间图G顶点的自然排序区间图–顶点排序24165141210v2v1v3v4区间图–顶点排序定义2：Pred(Vi)={Vj

4、(Vi,Vj)∈E∧j

5、这种序列称为完美消除序列。最大团最大独立集最小覆盖最小团覆盖……弦图定义：如果一个图的任何诱导子图都不是K阶环（K>=4），那么该图称为弦图弦图与完美消除序列定理：如果一个图G具有完美消除序列，则G是弦图。弦图与完美消除序列定理：图G是弦图，当且仅当G具有完美消除序列弦图与完美消除序列定义：如果与顶点V相邻的所有顶点构成一个团，则V称为单纯点引理1：任何弦图G具有至少一个单纯点。如果G不是完全图，那么它至少具有两个不相邻的单纯点。引理2：弦图的任何诱导子图都是弦图。弦图与完美消除序列引理1：任何弦图G具有至少一个单纯点。如果G不是完全图，那么它至少具有两个不相邻的单纯点。弦图与完

6、美消除序列最大势算法(MCS)字典序广度优先搜索(LexicographicalBFS)弦图与完美消除序列LexBFS{A,D,C,B,E,F,G,H,J,K,I,L}弦图的判定LexBFS–O(n+m)1.令Vi是第一个桶中的第一个元素(显然Vi是目前标号最大的一个顶点)。2.将Vi从桶S(L(Vi))中删去。3.如果S(L(Vi))已空，将它从Q中删去。4.对于每个Vi的相邻点W：5.如果W仍在Q中(W尚未选择，必须更新它的标号和在Q中的位置)6.找到S(L(W))以及它在Q中的位置。7.寻找Q中S(L(W))上一个桶。8.如果这样的桶不存在,或它不是S(L(W)〇i)9.在

7、Q中的当前位置建立一个桶S(L(W)〇i)10.将W从S(L(W))中取出并加入S(L(W)〇i)中11.如果S(L(W))已空，将它删除。12.将L(W)更新为L(W)〇i。弦图的判定检验–O(n+m)弦图的判定ZOJ–FishingNet判断一个图是不是弦图再谈区间图定理：以下命题是等价的：(1)G是区间图(2)G是弦图，且G是伴相似图(co-comparabilitygraph)。(3)G的极大团可以连续地编号。即我们可以将它们排为C1..Ck，满足对于任何v∈V，序列{j

8、j∈{1..k}，v∈Cj}是连续整数集。再谈区间图定义：一个能够无环且具有传递性地定向的无向图G称

9、为相似图。定理：(1)->(2)定理：(3)->(1)I(V)=[Min{i

10、V∈Ci}，Max{i

11、V∈Ci}]再谈区间图定理(2)->(3)令G’是G补图经过无环传递定向后的有向图。构造有向图H.V(H)=C,∈E(H)存在x∈C1,y∈C2且∈G’再谈区间图定理：H是传递的再谈区间图定理：H是无环的再谈区间图定理：H的一个拓扑排序C1,C2,…Ck是满足(3)的一个序列区间图的判定区间图的判定定理：设G是弦图，M是G的一个极大团，则存在i，M={V