概率论与数理统计教程（沈恒范主编）第4章 正态分布课件.ppt

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1、第四章正态分布§4.1正态分布的概率密度与分布函数§4.2正态分布的数字特征§4.3二维正态分布§4.4正态随机变量线性函数的分布§4.5中心极限定理§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布是最常见因而也是最重要的分布:1.很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述；2.在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布近似计算；3.在非常一般的充分条件下，大量独立随机变量的和近似地服从正态分布；4.数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导得到的.§4.1正态分布的概率密度与分布函数[定义]若随机变量的概率密度为其中及都是常数

2、，则称随机变量服从正态分布(或高斯分布).记作：§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布的定义当时称服从标准正态分布.记为：正态分布的概率密度的图形：分布曲线的特征：1.关于直线对称；2.在处达到最大值；3.在处有拐点；4.时曲线以轴为渐近线.§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布的概率密度与分布函数5.固定改变则图形沿轴平移而不改变其形状.6.固定改变则当很小时，曲线的形状与一尖塔相似；当值增大时，曲线将趋于平坦.§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布的分布函数为§4.1正态分布的概率密度与分布函数

3、标准正态分布的概率密度：标准正态分布的分布函数：§4.1正态分布的概率密度与分布函数的性质：[例1]设服从标准正态分布求解：§4.1正态分布的概率密度与分布函数[定理]证：则§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布的概率计算[例2]设随机变量服从正态分布求概率解：§4.1正态分布的概率密度与分布函数[例3]设随机变量服从正态分布在区间内的概率，这里解：§4.1正态分布的概率密度与分布函数求落查附表2得说明：若则§4.1正态分布的概率密度与分布函数由此可知落在之外的概率小于‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把

4、区间这一原理叫做“三倍标准差原理”§4.1正态分布的概率密度与分布函数可能的取值看作是随机变量的实际区间.[例4]设随机变量服从标准正态分布机变量函数的概率密度.解：已知随机变量的概率密度先求随机变量的分布函数：当时，§4.1正态分布的概率密度与分布函数求随当时，所以，的分布函数为§4.1正态分布的概率密度与分布函数所得的分布称为自由度为的分布.§4.1正态分布的概率密度与分布函数求导得到的概率密度1.正态分布的概率密度：2.标准正态分布的概率密度与分布函数：§4.1正态分布的概率密度与分布函数小结3.标准正态分布分布函

5、数的性质：4.利用求正态变量落在某区间内的概率：§4.1正态分布的概率密度与分布函数补充例题[例1]测量到某一目标的距离时发生的随机误差具有概率密度的概率.解：正态分布于是§4.1正态分布的概率密度与分布函数求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过按题意，每次测量时发生的随机误差服从所以，在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过的概率§4.1正态分布的概率密度与分布函数[例2]已知某机械零件的直径服从正态分布规定直径在内为合格品.求这种机械零件的不合格品率.解：设随机变量表示这种机械零件的直径则按题意，不合格品率为§4

6、.1正态分布的概率密度与分布函数[例3]若随机变量且则解：已知则有§4.1正态分布的概率密度与分布函数由此可得答：应填0.2.§4.2正态分布的数字特征[定理1]设随机变量服从正态分布则证：§4.2正态分布的数字特征因为所以§4.2正态分布的数字特征利用分部积分法计算积分所以，§4.2正态分布的数字特征参数是该分布的标准差.正态分布的概率密度完全由数学期望和方差决定.正态分布的参数是该分布的数学期望,另一个[定理2]设随机变量服从正态分布，则阶中心矩证：§4.2正态分布的数字特征当是奇数时，§4.2正态分布的数字特征[例

7、1]的数学期望与方差.解：所以，§4.2正态分布的数字特征置换积分变量得§4.2正态分布的数字特征于是§4.2正态分布的数字特征小结思考题已知连续随机变量的概率密度为则的数学期望为方差为解：的概率密度可以写为§4.2正态分布的数字特征由此可知，于是有，补充例题设随机变量求随机变量函数的概率密度、数学期望与方差.解：已知则的概率密度为§4.2正态分布的数字特征当时，显然有当时，有所以，的分布函数为§4.2正态分布的数字特征对求导数，即得的概率密度注意到在处不可导，不妨定义下面求的数学期望和方差：§4.2正态分布的数字特征又

8、置换积分变量得所以，的方差§4.2正态分布的数字特征§4.3二维正态分布[定义]设二维随机变量的联合概率密度为则称二维随机变量服从二维正态分布，记作其中是分布参数.§4.3二维正态分布§4.3二维正态分布[定理1]设二维随机变量服从二维正态分布则与的边缘分布都是正态且无论参数为何值，都有证：的边缘概率密度分布，§4.