密码学数学基础第十讲 多项式环课件.ppt

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1、第十讲多项式环教师：李艳俊本节内容一．环上的多项式环二．域上的多项式环三．域上的多项式商环一．环上的多项式环1．未定元定理1：设R是一个有单位元的交换环，则一定存在环R上的一个未定元x。定义1：设R是一个有单位元1的交换环，R’是R的扩环，x是R’中的一个元素；如果对R的任意一组不全为零的元素a0，a1，a2，…，an，f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn≠0；则称x为R上的一个未定元。2．环上的多项式环定义2：设R是一个有单位元1的交换环，x是R上的一个未定元，a0，a1，a2，…，an

2、R，称形如f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的表达式为R上的x的一个多项式，其中，aixi称为多项式f(x)的i次项，ai称为i次项的系数。如果an≠0，则称f(x)的次数为n，记做degf(x)=n。如果在多项式f(x)与g(x)中，同次项的系数都相等，则称f(x)与g(x)相等，记为f(x)=g(x)。环R上所有关于x的多项式构成的集合记为R[x]。设R是有单位元1的交换环，多项式f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，g(x)=b0＋b1x＋b2x2＋…＋bmxm，其中m

3、≥n，a0，a1，…，anR，b0，b1，…，bmR；规定加法：f(x)＋g(x)=(a0＋b0)＋(a1＋b1)x＋…＋(an＋bn)xn＋bn＋1xn＋1＋…＋bmxm。规定乘法：f(x)g(x)=a0b0＋(a1b0＋a0b1)x＋(a2b0＋a1b1＋a0b2)x2＋…(akb0＋ak－1b1＋…＋a0bk)xk＋…＋anbmxm＋n定义3：设R是有单位元1的交换环，环（R[x]，＋，·）称为环R上关于x的多项式环。（1）R的零元0就是R[x]的零元；定理3：设R是有单位元1的交换环，x

4、为R上的一个未定元；（2）R的单位就是R[x]的单位；（3）若R是整环，则R[x]也是整环。定理2：设R是有单位元1的交换环，则R[x]对多项式加法和乘法做成一个有单位元1的交换环。例1：设f(x)=2x2＋x＋2，g(x)=x＋2Z3[x]，计算：f(x)＋g(x)，f(x)g(x)。3．多项式的根定义4：设R是有单位元1的交换环，f(x)R[x]，称元素rR是多项式f(x)的一个根，如果f(r)=0。例2：求剩余类环Z8={0，1，2，…，7}上2次多项式x2－1在Z8内的所有根。解：f(

5、x)＋g(x)=2x2＋2x＋1，f(x)g(x)=2x3＋2x2＋x＋1。解：x2－1在Z8内的所有根为：1，3，5，7。练习：在Z10={0，1，2，…，9}中，求f(x)=x2＋7x＋2的根。二．域上的多项式环设f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn是含有未定元x的多项式，其中系数ai取自某一个域F。用F[x]表示系数在域F上的全体多项式的集合。定理4：F[x]对多项式加法和乘法做成一个整环。命题1：设F是一个域，对于任意f(x)，g(x)F[x]，若g(x)≠0，则必定存在唯一的q

6、(x)，r(x)F[x]，使得f(x)=q(x)g(x)＋r(x)，其中或者r(x)=0，或者degr(x)＜degg(x)。q(x)称为用g(x)去除f(x)所得的商，r(x)称为用g(x)去除f(x)所得的余式。例3：设f(x)=x3＋x2＋7，g(x)=2x2＋7，分别在Q[x]和Z11[x]中，求用g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。例4：设Z3[x]中的两个元a(x)=2x4＋2，b(x)=x5＋2，求gcd(a(x)，b(x))=g(x)；并找出s(x)，t(x)Z3[x]

7、，使g(x)=a(x)s(x)＋b(x)t(x)。解：g(x)=gcd(a(x)，b(x))=1；s(x)=2x4＋x3＋2x2＋x＋1，t(x)=2x3＋x2＋2x＋1。f(x)=g(x)=求u(x)和v(x)，使得(f(x)，g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)。练习：设f(x),g(x)Z2[x]，有三．域上的多项式商环命题2：在域F上多项式环F[x]中，任意取定一个多项式f(x)=a0＋a1x＋…＋anxnF[x]，其中n=degf(x)＞0，I=（f(x)），则多项式商环F[

8、x]/（f(x)）={b0＋b1x＋…＋bn－1xn－1＋I

9、b0，b1，…，bn－1F}。在域F上多项式环F[x]中，任意取定f(x)F[x]，则I={g(x)f(x)

10、g(x)F[x]}是F[x]的理想。定理5：设F是一个域，则环F[x]的每个理想都是一个主理想。例4：写出Z2[x]/（x2＋x＋1）的加法和乘法的运算表。＋P1＋Px＋P1＋x＋PPP1＋Px＋P1＋x＋P1＋P1＋PP1＋x＋Px＋Px＋Px＋P1＋x＋PP1＋P1＋x＋P1＋x＋Px＋P