信道编码-循环码课件.ppt

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1、1.循环码的多项式描述2.循环码的生成多项式3.系统循环码4.多项式运算电路5.循环码的编码电路6.循环码的译码7.循环汉明码8.缩短循环码3.循环码(1)循环码的性质循环码是线性分组码的一个重要子类；由于循环码具有优良的代数结构，使得可用简单的反馈移位寄存器实现编码和伴随式计算，并可使用多种简单而有效的译码方法；循环码是研究最深入、理论最成熟、应用最广泛的一类线性分组码。1.循环码的多项式描述(2)循环码的定义循环码：如果(n,k)线性分组码的任意码矢C=(Cn－1,Cn－2,…,C0)的i次循环移位，所得矢量C(i)=(Cn－1－i,Cn－2－i,…,C0,

2、Cn－1,…,Cn－i)仍是一个码矢，则称此线性码为(n,k)循环码。1.循环码的多项式描述(3)码多项式码多项式：为了运算的方便，将码矢的各分量作为多项式的系数，把码矢表示成多项式，称为码多项式。其一般表示式为C(x)=Cn－1xn－1+Cn－2xn－2+…+C0)码多项式i次循环移位的表示方法记码多项式C(x)的一次左移循环为C(1)(x)，i次左移循环为C(i)(x)1.循环码的多项式描述码多项式的模(xn+1)运算0和1两个元素模2运算下构成域。1.循环码的多项式描述若p为素数，则整数全体在模p运算下的剩余类全体在模p下构成域。以p=3为模的剩余类全体模

3、3运算的规则如下：1.循环码的多项式描述码矢C循环i次所得码矢的码多项式C(x)乘以x，再除以(xn+1)，得1.循环码的多项式描述上式表明：码矢循环一次的码多项式C(1)(x)是原码多项式C(x)乘以x除以(xn+1)的余式。写作因此，C(x)的i次循环移位C(i)(x)是C(x)乘以xi除以(xn+1)的余式，即结论：循环码的码矢的i次循环移位等效于将码多项式乘xi后再模(xn+1)。1.循环码的多项式描述(4)举例：(7,3)循环码，可由任一个码矢，比如(0011101)经过循环移位，得到其它6个非0码矢；也可由相应的码多项式(x4+x3+x2+1)，乘以

4、xi(i=1,2,…,6)，再模(x7+1)运算得到其它6个非0码多项式。移位过程和相应的多项式运算如表6.3.1所示。1.循环码的多项式描述1.循环码的多项式描述(1)循环码的生成矩阵根据循环码的循环特性，可由一个码字的循环移位得到其它的非0码字。在(n,k)循环码的2k个码字中，取前(k－1)位皆为0的码字g(x)（其次数r=n－k），再经(k－1)次循环移位，共得到k个码字：g(x),xg(x),…,xk－1g(x)2.循环码的生成多项式这k个码字显然是相互独立的，可作为码生成矩阵的k行，于是得到循环码的生成矩阵G(x)(2)循环码的生成多项式码的生成矩阵

5、一旦确定，码就确定了；这就说明：(n,k)循环码可由它的一个(n－k)次码多项式g(x)来确定；所以说g(x)生成了(n,k)循环码，因此称g(x)为码的生成多项式。2.循环码的生成多项式(3)生成多项式和码多项式的关系定理1：在(n,k)循环码中，生成多项式g(x)是惟一的(n－k)次码多项式，且次数是最低的。[证明]：先证在(n,k)循环码系统中存在(n－k)次码多项式。因为在2k个信息组中，有一个信息组为，它的对应码多项式的次数为n－1－(k－1)=n－k(n－k)次码多项式是最低次码多项式。若g(x)不是最低次码多项式，那么设更低次的码多项式为g’(x)

6、，其次数为(n－k－1)。g’(x)的前面k位为0，即k个信息位全为0，而监督位不为0，这对线性码来说是不可能的，因此g(x)是最低次的码多项式，即gn－k必为1。续下页……2.循环码的生成多项式g0=1，否则经(n－1)次左移循环后将得到低于(n－k)次的码多项式。g(x)是惟一的(n－k)次多项式。如果存在另一个(n－k)次码多项式，设为g’’(x)，根据线性码的封闭性，则g(x)+g’’(x)也必为一个码多项式。由于g(x)和g’’(x)的次数相同，它们的和式的(n－k)次项系数为0，那么g(x)+g’’(x)是一个次数低于(n－k)次的码多项式，前面已证

7、明g(x)的次数是最低的，因此g’’(x)不能存在，所以g(x)是惟一的(n－k)次码多项式。2.循环码的生成多项式定理2：在(n,k)循环码中，每个码多项式C(x)都是g(x)的倍式；而每个为g(x)倍式且次数小于或等于(n－1)的多项式，必是一个码多项式。[证明](续下页……)设m=(mk－1,mk－2,…,m0)为任一信息组，G(x)为该(n,k)循环码的生成矩阵，则相应的码多项式为2.循环码的生成多项式上式表明：循环码的任一码多项式为g(x)的倍式。显然，凡是为g(x)的倍式且次数小于或等于(n－1)的多项式，一定能分解成上式的形式，因而它就是信息多项式

8、m(x)=(mk－1xk