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1、1.循环码的多项式描述2.循环码的生成多项式3.系统循环码4.多项式运算电路5.循环码的编码电路6.循环码的译码7.循环汉明码8.缩短循环码3.循环码(1)循环码的性质循环码是线性分组码的一个重要子类;由于循环码具有优良的代数结构,使得可用简单的反馈移位寄存器实现编码和伴随式计算,并可使用多种简单而有效的译码方法;循环码是研究最深入、理论最成熟、应用最广泛的一类线性分组码。1.循环码的多项式描述(2)循环码的定义循环码:如果(n,k)线性分组码的任意码矢C=(Cn-1,Cn-2,…,C0)的i次循环移位,所得矢量C(i)=(Cn-1-i,Cn-2-i,…,C0,
2、Cn-1,…,Cn-i)仍是一个码矢,则称此线性码为(n,k)循环码。1.循环码的多项式描述(3)码多项式码多项式:为了运算的方便,将码矢的各分量作为多项式的系数,把码矢表示成多项式,称为码多项式。其一般表示式为C(x)=Cn-1xn-1+Cn-2xn-2+…+C0)码多项式i次循环移位的表示方法记码多项式C(x)的一次左移循环为C(1)(x),i次左移循环为C(i)(x)1.循环码的多项式描述码多项式的模(xn+1)运算0和1两个元素模2运算下构成域。1.循环码的多项式描述若p为素数,则整数全体在模p运算下的剩余类全体在模p下构成域。以p=3为模的剩余类全体模
3、3运算的规则如下:1.循环码的多项式描述码矢C循环i次所得码矢的码多项式C(x)乘以x,再除以(xn+1),得1.循环码的多项式描述上式表明:码矢循环一次的码多项式C(1)(x)是原码多项式C(x)乘以x除以(xn+1)的余式。写作因此,C(x)的i次循环移位C(i)(x)是C(x)乘以xi除以(xn+1)的余式,即结论:循环码的码矢的i次循环移位等效于将码多项式乘xi后再模(xn+1)。1.循环码的多项式描述(4)举例:(7,3)循环码,可由任一个码矢,比如(0011101)经过循环移位,得到其它6个非0码矢;也可由相应的码多项式(x4+x3+x2+1),乘以
4、xi(i=1,2,…,6),再模(x7+1)运算得到其它6个非0码多项式。移位过程和相应的多项式运算如表6.3.1所示。1.循环码的多项式描述1.循环码的多项式描述(1)循环码的生成矩阵根据循环码的循环特性,可由一个码字的循环移位得到其它的非0码字。在(n,k)循环码的2k个码字中,取前(k-1)位皆为0的码字g(x)(其次数r=n-k),再经(k-1)次循环移位,共得到k个码字:g(x),xg(x),…,xk-1g(x)2.循环码的生成多项式这k个码字显然是相互独立的,可作为码生成矩阵的k行,于是得到循环码的生成矩阵G(x)(2)循环码的生成多项式码的生成矩阵
5、一旦确定,码就确定了;这就说明:(n,k)循环码可由它的一个(n-k)次码多项式g(x)来确定;所以说g(x)生成了(n,k)循环码,因此称g(x)为码的生成多项式。2.循环码的生成多项式(3)生成多项式和码多项式的关系定理1:在(n,k)循环码中,生成多项式g(x)是惟一的(n-k)次码多项式,且次数是最低的。[证明]:先证在(n,k)循环码系统中存在(n-k)次码多项式。因为在2k个信息组中,有一个信息组为,它的对应码多项式的次数为n-1-(k-1)=n-k(n-k)次码多项式是最低次码多项式。若g(x)不是最低次码多项式,那么设更低次的码多项式为g’(x)
6、,其次数为(n-k-1)。g’(x)的前面k位为0,即k个信息位全为0,而监督位不为0,这对线性码来说是不可能的,因此g(x)是最低次的码多项式,即gn-k必为1。续下页……2.循环码的生成多项式g0=1,否则经(n-1)次左移循环后将得到低于(n-k)次的码多项式。g(x)是惟一的(n-k)次多项式。如果存在另一个(n-k)次码多项式,设为g’’(x),根据线性码的封闭性,则g(x)+g’’(x)也必为一个码多项式。由于g(x)和g’’(x)的次数相同,它们的和式的(n-k)次项系数为0,那么g(x)+g’’(x)是一个次数低于(n-k)次的码多项式,前面已证
7、明g(x)的次数是最低的,因此g’’(x)不能存在,所以g(x)是惟一的(n-k)次码多项式。2.循环码的生成多项式定理2:在(n,k)循环码中,每个码多项式C(x)都是g(x)的倍式;而每个为g(x)倍式且次数小于或等于(n-1)的多项式,必是一个码多项式。[证明](续下页……)设m=(mk-1,mk-2,…,m0)为任一信息组,G(x)为该(n,k)循环码的生成矩阵,则相应的码多项式为2.循环码的生成多项式上式表明:循环码的任一码多项式为g(x)的倍式。显然,凡是为g(x)的倍式且次数小于或等于(n-1)的多项式,一定能分解成上式的形式,因而它就是信息多项式
8、m(x)=(mk-1xk