因式分解的应用——初中数学竞赛讲义教学提纲.doc

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1、因式分解的应用——初中数学竞赛讲义精品文档因式分解的应用一、利用因式分解判断整除性例12n－1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．证明(2n＋1)－(2n－1)=(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)=4n·2=8n∴这两个连续奇数的平方差能被8整除．例2x+y+z－3xyz能被(x+y+z)整除．证明因式分解，得原式即(x+y+z)(x+y+z－xy－yz－zx)，∴x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．例3设4x－y为3的倍数，求证：4x

2、+7xy－2y能被9整除．证明∵4x+7xy－2y=(4x－y)(x+2y)，又∵x+2y=4x－y－3x+3y=(4x－y)－3(x－y)．∴原式＝(4x－y)［(4x－y)－3(x－y)］＝(4x－y)－3(4x－y)(x－y)∵4x－y为3的倍数∴4x+7xy－2y能被9整除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例4设实数a

3、不能确定解：∵a

4、)=3.14×100=314(2)原式＝收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档说明：上述这些计算，巧妙应用了因式分解，使运算过程显得灵活、简捷。例6积的整数部分为()A.1B.2C.3D.4分析：这道题，要求99个括号里的数值的乘积，当然不能用常规方法去实乘。观察其特点：每个分母是相邻奇数或偶数的积，记为n(n＋2)；每个括号的分子相加又都是n(n＋2)＋1=(n＋1)2，于是，设所求式子之积为S，则有1

5、7已知ac＋bd=0，则ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)的值等于___________。解：原式=(abc2＋a2cd)＋(abd2＋b2cd)=ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)=(ad＋bc)(ac＋bd)=(ad＋bc)×0=0说明：利用因式分解，先化简代数式，上述的求值题变得十容易了。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例8已知a－b=3,a－c=,求(c—b)[(a－b)+(a－c)(a－b)+(a－c)]的值分析：所求的代数式中含有c－b，可以通过已知的a－b=3与a－c=

6、来推得c－b解：由已知得c－b=3－所以原式=（3－）[]==27－26=1四、利用因式分解解方程例9解方程（x2＋4x)2－2(x2＋4x)－15=0解：将原方程左边分解因式，可得x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)=0(x＋1)(x＋3)(x－1)(x＋5)=0由此得x+1＝0或x＋3=0，或x－1=0，或x＋5=0原方程的解是x1=－1，x2=－3，x3=1，x4=－5例10求方程4x2－4xy－3y2=5的整数解。解：原方程或化为(2x－3y)(2x＋y)=5因为x、y是整数，故2x－3y和2x

7、＋y必是整数。又∵5=5×1=(－5)×(－1)，因此原方程可化为四个方程组：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档解这四个方程组，便可得原方程的四组解为：说明：因式分解的运用，使这两道方程转化为我们熟悉的一次方程。五、利用因式分解化简例11化简分析111…1=333…3000…0=3×(111…1000…0)=3×(111…1－111…1)=3×(－)解：∵===∴原式===333…3六、利用因式分解证明等式（不等式）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例12已知三角形的三边a、b、c满

8、足等式，证明这个三角形是等边三角形分析要证明以a、b、c为边的三角形是等边三角形，只要能证明a=b=c即可，题中给出了关于a、b、c的关系式，利用因式分解将它变形，在利用非负数的性质即可。解：已知即(a+b+c)(－ab－bc－ca)=0∵a+b+c≠0∴－ab－bc－ca=0∴()+()+()=0∴===0∴a=b=c∴这个三角形是等边三角形例13设a、b、c为△ABC的三边，求证<0证明：===(a+b+c)(a－b－c)∵a、b、c为