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时间:2020-08-02
《因式分解的应用——初中数学竞赛讲义教学提纲.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、因式分解的应用——初中数学竞赛讲义精品文档因式分解的应用一、利用因式分解判断整除性例12n-1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数),证明这两个连续奇数的平方差能被8整除.证明(2n+1)-(2n-1)=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n∴这两个连续奇数的平方差能被8整除.例2x+y+z-3xyz能被(x+y+z)整除.证明因式分解,得原式即(x+y+z)(x+y+z-xy-yz-zx),∴x3+y3+z3-3xyz能被(x+y+z)整除.例3设4x-y为3的倍数,求证:4x
2、+7xy-2y能被9整除.证明∵4x+7xy-2y=(4x-y)(x+2y),又∵x+2y=4x-y-3x+3y=(4x-y)-3(x-y).∴原式=(4x-y)[(4x-y)-3(x-y)]=(4x-y)-3(4x-y)(x-y)∵4x-y为3的倍数∴4x+7xy-2y能被9整除收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档例4设实数a
3、不能确定解:∵a
4、)=3.14×100=314(2)原式=收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档说明:上述这些计算,巧妙应用了因式分解,使运算过程显得灵活、简捷。例6积的整数部分为()A.1B.2C.3D.4分析:这道题,要求99个括号里的数值的乘积,当然不能用常规方法去实乘。观察其特点:每个分母是相邻奇数或偶数的积,记为n(n+2);每个括号的分子相加又都是n(n+2)+1=(n+1)2,于是,设所求式子之积为S,则有1
5、7已知ac+bd=0,则ab(c2+d2)+cd(a2+b2)的值等于___________。解:原式=(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(ad+bc)(ac+bd)=(ad+bc)×0=0说明:利用因式分解,先化简代数式,上述的求值题变得十容易了。收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档例8已知a-b=3,a-c=,求(c—b)[(a-b)+(a-c)(a-b)+(a-c)]的值分析:所求的代数式中含有c-b,可以通过已知的a-b=3与a-c=
6、来推得c-b解:由已知得c-b=3-所以原式=(3-)[]==27-26=1四、利用因式分解解方程例9解方程(x2+4x)2-2(x2+4x)-15=0解:将原方程左边分解因式,可得x2+4x+3)(x2+4x-5)=0(x+1)(x+3)(x-1)(x+5)=0由此得x+1=0或x+3=0,或x-1=0,或x+5=0原方程的解是x1=-1,x2=-3,x3=1,x4=-5例10求方程4x2-4xy-3y2=5的整数解。解:原方程或化为(2x-3y)(2x+y)=5因为x、y是整数,故2x-3y和2x
7、+y必是整数。又∵5=5×1=(-5)×(-1),因此原方程可化为四个方程组:收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档解这四个方程组,便可得原方程的四组解为:说明:因式分解的运用,使这两道方程转化为我们熟悉的一次方程。五、利用因式分解化简例11化简分析111…1=333…3000…0=3×(111…1000…0)=3×(111…1-111…1)=3×(-)解:∵===∴原式===333…3六、利用因式分解证明等式(不等式)收集于网络,如有侵权请联系管理员删除精品文档例12已知三角形的三边a、b、c满
8、足等式,证明这个三角形是等边三角形分析要证明以a、b、c为边的三角形是等边三角形,只要能证明a=b=c即可,题中给出了关于a、b、c的关系式,利用因式分解将它变形,在利用非负数的性质即可。解:已知即(a+b+c)(-ab-bc-ca)=0∵a+b+c≠0∴-ab-bc-ca=0∴()+()+()=0∴===0∴a=b=c∴这个三角形是等边三角形例13设a、b、c为△ABC的三边,求证<0证明:===(a+b+c)(a-b-c)∵a、b、c为
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