数学建摸课本练习题.pdf

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1、数学建摸课本练习题1、（13分）设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。（1）排列1：圆盘中心按正方形排列（如下图）的尽可能多的圆盘数。（4分）隐藏答案解：圆盘总数：排列2：圆盘中心按六角形排列（如下图）的尽可能多的圆盘数。（4分）隐藏答案解：行数：圆盘总数：（2）设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。（5分）隐藏答案解：前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106。2、（10分）在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能

2、力和体重之间关系的模型：（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。（5分）（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。（5分）隐藏答案解：设体重w（千克）与举重成绩y（千克）（1）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以yμIμS设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则Sμh2再体重正比于身高的三次方，则wμh3故举重能力和体重之间关系的模型为：（2）体重中与成年人尺寸无关的重量为a,则一个最粗略的模型为更好的模型：3、（10分）在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1

3、.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。（1）请写出商品价恪c与商品重量w的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。（5分）（2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释。（5分）隐藏答案解：（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含w和s成正比的部分，上述三种都含有与w和s均无关的成分。又因为形状一定时有，故商品的价格可表示为，为大于0的常数。（2）单位重量价格。显然c是w的

4、减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，函数曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大时逐渐降低的。4、（10分）药的剂量和用药间隔时间应该如何调节，才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度？设H为药物的最高安全量级，L为最低有效量级，x-0为每次所开药物的剂量，T为用药间隔时间。现给定H＝2.5mg/ml，L＝0.5mg/ml。并假定血液中药物浓度的减少速率与浓度成正比（设比例系数k＝0.01），（1）写出第n次用药期内的药物浓度变化的动力学模型；（5分）隐藏答案解：设Cn(t)表示第n次用药期内时刻t的药物浓度，其变化的动力学模型为：其中：x0=H-L

5、=2mg/ml，（2）请在安全有效范围内对用剂量的浓度和用药间隔制定一个用药计划。（5分）隐藏答案解：5、（13分）设在一个一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic变化规律，植物独自生存时其生物量的增长服从指数增长规律。（1）请建立三者关系的模型；（5分）隐藏答案解：将植物、哺乳动物和爬行动物的数量分别记为x1(t)、x2(t)和x3(t)，则三者关系模型为：（2）求平衡点；（3分）（3）分析各平衡点的稳定性。（5分）隐藏答案A（0，

6、0，0）或B（x1，x2，x3），其中6、（12分）某研究单位现有3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，其中，建立了如下的层次分析模型：目标层准则层方案层并分别建立了如下的准则层B1,B2,B3对目标层A的成对比较矩阵：（1）请判断矩阵A是否为一致阵（已知RI=0.58）；（6分）隐藏答案解：首先计算A的最大特征值，令

7、A-lE

8、=0，得lmax=3.0945，对应的归一化特征向量u=(0.0943，0.6259，0.2798)T计算CI=（3.0945-3）/(3-1)=0.0473计算CR=CI/RI=0.0816<0.1所以A是一致阵。

9、（2）若还已经求得方案层C1，C2，C2对准则层B1,B2,B3的权向量分别为（0.595，0.277，0.128），（0.082，0.236，0.682），（0.429，0.429,0.142）,据此计算该选择何种方案。（6分）隐藏答案解：由于w=因此，选择课题C3。7、（10分）设报童销售一份报纸的零售价为a=15分，购进价b=8分，退回价c=6分。设每天需求量为r时的概率为f(r)（r=0,1,2…）。请回答如下两个问题：（1）当每天购进n份时，请写出日平均收入G(n)的模型；（5分）隐藏答案解：（2）当n满足什么条件时，日平均收入G(n)最大。（

10、5分）隐藏答案解：满足如下条件：8、（10分）设磷元素在土壤中记状态1，在草、牛