代数系统的定义与其性质课件.ppt

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1、代数系统的定义与性质引子针对某个具体问题选用合适的数学结构去进行较为确切的描述，这就是“数学模型”。本章我们要学习的是一类特殊的数学结构——由集合上定义若干个运算而组成的系统。根据前苏联科学院出版的一本名为“数学---它的内容、方法、和意义”具世界影响的书的提法，数学的三大特点也是它的三大优点是：①精确性;②抽象性;③应用的广泛性.原书还特别强调:抽象性是应用广泛性的基础。而我们学习数学，就必须要深刻理解数学的抽象性这个特点和优点。主要内容代数系统的一般性质几个典型的代数系统本学期内容代数系统的一般性质代数系统

2、的定义与性质同态、同构和同余商代数、积代数本节内容代数系统的定义与性质闭运算与n元运算代数系统一般二元运算的性质本节要求掌握代数系统的定义掌握运算的性质与特殊元集合上的运算，其运算结果都是在原来的集合R中，具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果BA,则称该n元运算是封闭的.闭运算与n元运算定义设S为集合,函数f:S×S→S称为S上的一个二元运算,简称为二元运算.f:N×N→N,f()＝x＋y普通的减法不是自然数集合上的二元运算,因为

3、两个自然数相减可能得负数,而负数不属于N.这时也称集合N对减法运算不封闭.(1)自然数集合N上的乘法是N上的二元运算,但除法不是.(2)整数集合Z上的加法、减法和乘法是Z上的二元运算,而除法不是.(3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法、减法不是.(4)设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n≥2),即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算,(5)S为任意集合,则∪,∩,—,为S的幂集P(S)上的二元运算,(6)S为集合,是S上的所有函数的集合,则合成运算.是上的二元运算.无理数的由

4、来公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的。这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。算符通常用˚,*,∙,★…等符号表示二元运算，称为算符.设f:S×S→S是S上的二元运算,对任意的x,y∈S,如x与y的运算结果是z,即f()＝z,可利用算符˚简记为x˚y=zN元运算定义设S为集合,n为正整数,则函数称为S上的一个n元运算,简称为n元运算.例如,求一个数的相

5、反数是实数集R上的一元运算,求一个数的倒数是非零实数集R*上的一元运算,在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,那么求集合的绝对补运算可以看作是P(S)上的一元运算.在空间直角坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在x轴上的投影可以看作是实数集R上的三元运算f()＝x,因为参加运算的是有序的3个实数,而结果也是实数.使用算符表示n元运算若f()=b,则可记为˚(a1,a2,···,an)＝b前缀表示法：˚(a)＝b一元运算,˚(a1,a2)＝b二元运算,˚(a1,a2,a3

6、)＝b三元运算.如果集合S是有穷集,S上的一元和二元运算也可以用运算表给出.例设S＝{1,2},给出P(S)上的运算~和的运算表,其中全集为S.解所求的运算表如以下两表所示.例设S={1,2,3,4},定义S上二元运算如下：x˚y=(xy)mod5,x,yS˚123411234224133314244321代数系统定义非空集合S和S上的k个运算f1,f2,…,fk(其中fi为ni元运算,i=1,2,…,k)组成的系统称为一个代数系统,简称代数,记作.例如,,

7、·,>,都是代数系统,其中＋为普通加法,·为普通乘法,是代数系统,其中＋和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.说明①代数系统就是集合上赋于代数结构——运算。有资格称为S上的运算要求运算有“确定性”,确定性就要存在性和唯一性的总称。②代数系统是一个总称,具体运算符合某些律,就产生了代数系统的分类例如群、环、域,布尔代数等。例子也是代数系统,它包含两个二元运算和一个一元运算.代数常数二元运算的幺元或零元,对系统性质起着重要的作用,称之为系统的特异元素,或代数常

8、数.子代数系统、子代数定义设V=是代数系统,BS且B≠,如果B对f1,f2,…,fk都是封闭的,且B和S含有相同的代数常数,则称是V的子代数系统,简称子代数.例如.是的子代数,因为N对加法封闭,且它们都具有相同的代数常数0.不是的子代数.因为代数常数0不出现在N-{0