2019年电类高等数学电子教案9 课件.ppt

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1、第九章常微分方程教学要求1.了解微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件、特解等概念。掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法2.知道二阶线性微分方程的解的结构，掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法，会求简单自由项为（如n=0，1）、的二阶常系数线性非齐次微分方程的解3.会用微分方程解决一些简单的实际问题4.了解拉氏变换和拉氏逆变换的概念与性质会用拉氏变换解简单的微分方程第一节常微分方程的基本概念第二节常微分方程的分离变量法第三节一阶线性微分方程的解法第四节一阶线性微分方程的应用第五节二阶常系数线性

2、齐次微分方程第六节二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法第十节用拉氏变换解常微分方程第七节拉氏变换的概念第八节拉氏变换的性质第九节拉氏逆变换第一节常微分方程的基本概念一、两个引例三、简单微分方程的建立二、微分方程的基本概念一、两个引例该点横坐标的平方且该曲线通过点（0，1），求该曲引例1已知曲线上任意一点处的切线斜率等于解设所求曲线方程为(2)将(2)代入(3)中得：所求的曲线方程为：(4)线方程。由题知：(1)对(1)两边积分：(3)引例2一质量为M的物体自由落下，不计空气阻力，。求物体的运动规律。设

3、初速度为解设物体的运动规律为由物理学知识知：（为重力加速度)(5)(6)对(5)两边积分：(7)对(7)两边积分：(8)将条件(6)带入(7),(8)得：所以物体的运动规律为：(9)二、微分方程的基本概念定义9.1含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程．未知函数为一元函数的微分方程叫做常微分方程．本章只讨论常微分方程，为方便起见，简称为微分方程或方程．微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶.在通解中，给予任意常数以确定的值而得到的解叫做特意常数的个数等于微分方程的阶数，这个解

4、叫做通解．如果微分方程的解中含有任意常数，并且相互独立的任解．用以确定任意常数的条件叫做初始条件．程成为恒等式，则这个函数叫做微分方程的解．定义9.2如果某个函数代入微分方程以后，能使该方一般地，一阶微分方程的初始条件为或(为给定值）．二阶微分方程的初始条件为或(为给定值）．例9.1.1验证函数是微分方程的通解，并求出满足初始条件的特解．解:所以，函数是所给微分方程的解．又因为将代入方程左端，得这个解中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它是所给微分方程的通解．从几何上看，微分方程的每一个解都是

5、平面内的一条曲线，我们称它为微分方程的一条积分曲线；通解则是平面内的一族曲线，称为积分曲线族．由初始条件，我们得，由初始条件，得所以，．于是，满足所给初始条件的特解为．三、简单微分方程的建立例9.1.2一曲线上任意一点处的切线与过原点的直线垂直，求该曲线满足的微分方程．解因为依题意，得所以故曲线满足的微分方程是小结9.1理解并掌握常微分方程的基本概念会建立简单微分方程思考题9.21．微分方程的解加上一个任意常数还是该方程答:不一定．因为微分方程的通解中一定含有任意常数，2.函数（是任意常数）是微分方程但

6、不一定是相加关系，例如，方程的解，但不是通解，也不是特解，为什么？的解吗？答:由通解和特解的定义可知，既不是方程的通解也不是特解．结束放映再见！