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1、实验二购房贷款的利率非线性方程和迭代一、引例：购房贷款的利率不难算出，你向银行总共借了25.2万，30年内共要还51.696万，约为当初借款的两倍。这个案例中贷款年利率是多少呢？下面是《新民晚报》2000年3月30日第七版上的一则房产广告：解设xk为第k个月的欠款数，a为月还款数,r为月利率。xk+1=(1+r)xk-a那么xk=(1+r)xk-1-a=(1+r)2xk-2–(1+r)a–a=……=(1+r)kx0–a[1+(1+r)+……+(1+r)k-1]=(1+r)kx0–a[(1+r)k-1]/r
2、根据a=0.1436,x0=25.2,x360=0得到25.2(1+r)360–0.1436[(1+r)360-1]/r=0二、数学理论复习：非线性方程（组）一元非线性方程的一般形式为f(x)=0若对于数有f()=0,则称为方程的解或根，也称为函数f(x)的零点若对于数有f()=0,f’()0则称为单根若有k>1,f()=f’()=…=f(k-1)()=0但f(k)()0,称为k重根非线性方程（组）求解通常用数值方法求近似解，常见的有二分法、牛顿法等1图解法适用于求一元或二元方程
3、(组)低精度解或找迭代初值例1解方程sin(x)=0.1x解-1sinx1,得
4、x
5、<10,作出sin(x),0.1x在[-10,10]范围内的图,可看出根的大致位置»fplot('sin',[-10,10]);holdon;»fplot('0.1*x',[-10,10])；grid;zoom三、数值解法：图解法和迭代法2迭代法迭代法是从解的初始近似值x0(简称初值)开始，利用某种迭代格式xk+1=g(xk)，求得一近似值序列x1,x2,…,xk,xk+1,…逐步逼近于所求的解(称为不动点)。最常用
6、的迭代法是牛顿迭代法，其迭代格式为例2求方程x2-3x+ex=2的正根(要求精度=10-6)解令f(x)=x2-3x+ex-2,f(0)=-1,当x>2,f(x)>0,f’(x)>0即f(x)单调上升，所以根在[0,2]内。先用图解法找初值，»fplot('x^2-3*x+exp(x)-2',[0,2]),grid取x0=1,迭代格式四、使用MATLAB1多项式的根roots(p)可求得多项式p的所有复根MATLAB中一个多项式用系数降幂排列向量来表示。例如求多项式x3+2x2-5的根用MATLAB命令
7、»roots([120-5])2一元函数零点fzero(F,X,tol),返回函数F的一个零点,其中F为字符串表示的函数或M函数名。X为标量时,为迭代初值；X为向量[a,b]时,返回函数F在[a,b]中的一个零点,要求F在a,b异号。tol为可变精度(缺省值1e-4)。例1可求解如下»fzero('sin(x)-0.1*x',6)»fzero('sin(x)-0.1*x',[2,6])3非线性方程组求解fsolve可求非线性方程或多元非线性方程组的实根，用法与fzero类似。例3解方程组解法一：本题可通过
8、作二元函数图求解解法二：先写一个M函数eg2_2fun.m，然后用»x=fsolve(‘eg2_2fun’,[0,0])求解解法三：直接求解»x=fsolve(‘[4*x(1)-x(2)+exp(x(1))/10-1,…-x(1)+4*x(2)+x(1).^2/8]’,[0,0])4解析求解solvesolve是符号数学工具箱中的解方程组命令。可求各种类型方程组的解析解。当找不到解析解时，solve会自动寻求一个近似解，并且精度很高»solve(‘a*x^2+b*x+c’,‘x’)可得二次多项式求根公式»
9、solve(‘x^2-3*x+exp(x)-2’,‘x’)可解例2»[x,y]=solve(‘4*x-y+exp(x)/10=1’,…‘-x+4*y+x^2/8=0’,‘x,y’)可解例3五、实验例题例4(引例)常识上，r应比当时活期存款月利率略高一些。我们用活期存款月利率0.0198/12作为迭代初值，用fzero求解»r=fzero('25.2*(1+x)^360-((1+x)^360-1)/...x*0.1436',0.0198/12);R=12*r得年利率为5.53%例5（栓牛鼻的绳子）农夫有一个
10、长满草的半径10米的圆形牛栏，他要将一头牛栓在栏桩上，但只让牛吃到一半草，问栓牛鼻的绳子应为多长？BDACORθ解设A为栓桩,绳AB长R半径OA=OB=r,=角OBA,那么R=2rcos扇形BAC面积S1=2R2/(2)=R2冠形ADB面积S2=(-2)r2/(2)–Rr(sin)/2=(/2-)r2–Rr(sin)/2那么R2+(-2)r2–Rr(sin)=r2/2即sin(2)-2
