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时间:2020-07-27
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1、第二节矩阵的运算一、矩阵的加法二、数与矩阵相乘五、小结思考题三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的其他运算1、定义一、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作,规定为说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.例如2、矩阵加法的运算规律1、定义二、数与矩阵相乘2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.(设为矩阵,为数)若想求出从t1、t2到y1、y2的线性变换,可将(2)式代入(1)式,得三、矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换(1)(2)(3)线性变换(3)可看成是先作线性变换(2)再作线性变换(1)的结果,我们把线性变换(3)叫做线性变换(1)与
2、线性变换(2)的乘积,相应地把(3)所对应的矩阵定义为(1)与(2)所对应的矩阵的乘积,即一般地,我们有1、定义并把此乘积记作设是一个矩阵,是一个矩阵,那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵,其中例1设例2故解注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.例如不存在.2、矩阵乘法的运算规律(其中为数);若A是阶矩阵,则为A的次幂,即并且注意矩阵不满足交换律,即:例设则但也有例外,比如设则有例3计算下列乘积:解解=()解例4(注:补充例题,做法与第38页例6类似)由此归纳出用数学归纳法证明当时,显然成立.假设时成立,则时,所以对于任意的都有定义把矩阵的
3、行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作.例1、转置矩阵四、矩阵的其它运算转置矩阵的运算性质例5(注:第39页例7)已知解法1解法22、方阵的行列式定义由阶方阵的元素所构成的行列式,叫做方阵的行列式,记作或运算性质3、对称阵与伴随矩阵定义设为阶方阵,如果满足,即那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明例6设列矩阵满足证明(注:第40页例8)例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.(注:补充例题)定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵性质证明则称为矩阵的伴随矩阵.(注:
4、第41页例9)4、共轭矩阵定义当为复矩阵时,用表示的共轭复数,记 , 称为的共轭矩阵.故同理可得运算性质(设为复矩阵,为复数,且运算都是可行的):五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.注意(3)矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.思考题成立的充要条件是什么?思考题解答答故成立的充要条件为
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