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1、第6章图像变换（1）引言图像的数学变换的特点在于其有精确的数学背景，是许多图像处理技术的基础。在这些变换中，一种是在空间域上进行的，这些变换根据处理操作的特点，可以分为图像的代数运算和几何运算，它们都是利用对输入图像进行加工而得到输出图像。另一种重要的数学变换则是将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用输入图像在这些空间的特有性质有效而快速地对图像进行处理和分析。最典型的变换有离散傅立叶变换，它把空域中的图像信号看作二维时间序列，将其变换到频率域来分析图像的频谱特性。图像变换的目
2、的使图像处理问题简化；有利于图像特征提取；有助于从概念上增强对图像信息的理解。常用的图像变换方法傅里叶变换：针对特定波段，周期性噪声的去除；主成分变换：针对多波段，产生新的“波段”，数据的压缩或噪声的去除；缨帽变换：适用于LANDSAT图像的多波段经验性变换方法，更好地突出主体的地物特征；代数运算：简单的代数运算产生新的“波段”，增强特定的地物信息；色彩变换：RGB彩色空间转换到其他彩色空间显示，突出RGB空间中难以表达的内容。6.1傅里叶变换傅里叶变换是变换域分析中广泛使用的工具。把傅里叶变换的理
3、论与遥感图像的物理解释相结合,有利于解决大多数遥感图像处理问题。傅里叶变换指非周期函数的正弦和或余弦和乘以加权函数的积分表示，1965年快速傅里叶变化算法（FFT）出现后得到大规模应用。傅里叶变换分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换，在数字图像处理中常用的是离散傅里叶变换。6.1.1基本概念设x(t)为（-∞，+∞）上连续函数，在一定条件下，有如下关系：（1）（2）公式(1)称为傅里叶变换，公式(2)称为傅里叶逆变换。X(f)为x(t)的连续频谱，简称频谱。公式(1)中，可以由信号x(t)求出相应的频
4、谱X(f)，这个过程称为频谱分析。在图像处理中，该过程称为傅里叶变换。通过传感器所接收到的信号x(t),一般包括两种成分：有效信号s(t)，和干扰信号n(t)。信号处理的目的就是削弱干扰信号n(t)，保持或增强信号s(t)。在许多情况下，干扰信号n(t)的频谱N(f)与有效信号s(t)的频谱S(t)是不同的。因此，可以有针对性的设计不同的频率函数H(f)，即滤波器，对信号x(t)进行滤波，以削弱干扰增强信号。6.1.2图像的傅里叶变换图像理论把通信中的一维问题推广到二维空间进行研究。通信研究的是一维
5、时间信息，图像研究的是二维空间信息；通信研究的是时间域和频率域之间的关系，图像理论研究的是空间域和频率域之间的关系。图像理论认为：平面图像是由许多相位、振幅不同的x-y方向的空间频率叠加的结果。空间上高频率波决定图像的细节，空间上低频率波决定图像的背景和动态范围。二维连续函数（图像）傅里叶变换二维离散（图像）傅里叶变换（1）二维连续函数（图像）傅里叶变换——频率域滤波的基本原理若f(x,y)为(x,y)二元连续函数（图像函数），则它的傅里叶变换为：F(u,v)的傅里叶逆变换为：F(u,v)为f(x,
6、y)的频谱。假设f(x,y)代表原始图像，g(x,y)代表处理后的图像则：式中：h(x,y)为响应函数如果G(u,v),H(u,v),F(u,v)分别是g(x,y)，h(x,y)，f(x,y)的傅里叶变换，由卷积定理可知，上面的卷积关系可表示为频率域的乘积关系：式中：H(u,v)为传递函数，或滤波器，直接影响变换的结果。给定了原始图像f(x,y)，计算得到F(u,v)之后，目的是要选择H(u,v)，然后通过下式：计算后得到所需的图像效果。F-1表示傅里叶逆变换。利用函数H(u,v)强调F(u,v)的
7、高频分量，使f(x,y)的边缘得到增强，也可以强调F(u,v)的低频分量，使图像颗粒噪声得以消除。（2）二维离散傅里叶变换在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为其逆变换为：X和y分别代表图像的空间坐标，u和v分别代表x和y轴方向的空间频率分量。空间频率是指单位长度内亮度周期性变化的数量。一维和二维离散函数的傅里叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量
8、。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。原图离散傅立叶变换后的频域图6.1.3快速傅里叶变换减少运算步骤和节省时间用两次一维的FFT进行快速运算处理，把遥感图像转换为一系列不同频率的二维的正弦/余弦波。有专门的软件包，使用方便。6.1.4频率域图像线性的地物为高频部分，大块面状的地物为低频部分；频率域图像以图像的中心为坐标原点，左上-右下、右上-左下对称。图像中心为原始图像的平均亮度值，频率为0；从图像中
