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1、3.2元素的阶定义12设是群，a∈G，n∈Z,则a的n次幂定义为：n=0,an=en>0,an=a(n-1)*an<0,n=-m,an=(a-1)m例：在群中，30=e=0,35=3+3+3+3+3=15,3-5=(3-1)5=-15在群中，20=？（0）23=？（0）2-3=？（0）定理4设是群，则G的幂运算满足如下性质：(1)对于所有的a∈G，(a-1)-1=a;(2)对于所有的a,b∈G,(a*b)-1=b-1*a-1(3)对于所有的a∈G,an*am=an+m(4)对于所有的a∈G,(an)m=amn(
2、5)若G为交换群，（a*b）n=an*bn定义13设e是群的幺元，a∈G。若存在r∈N使得ar＝e，称a的周期是有限的，其中最小的正整数r称为a的周期或阶，记为
3、a
4、。若没有这样的正整数，称a的周期是无限的。定理5若是群，则对任意的a∈G，a与a－1具有相同的周期。考虑2和4：3阶元3：2阶元1和5：6阶元0：1阶元+012345012345012345123450234501345012450123501234定理6若群的元素a具有阶m，则ak＝e（k为整数）成立的充要条件是k是m的倍数。证明(充分性)若k是
5、m的倍数，不妨设k＝sm，则ak＝(am)s＝es＝e。（必要性）反之，若k不是m的倍数，则存在s、q∈Z，使得k＝sm＋q，其中0＜q＜m。于是aq＝ak－sm＝ak*a－sm＝e，与m是a的周期矛盾，所以k是m的倍数。推论：若群的元素a具有有限周期m，则ak的阶为m/(m,k)(需要证明)。证明：假设d=(m,k),ak的阶为n,则（m/d,k/d）=1,akn=(ak）n=e根据定理6，m
6、kn，所以(m/d)
7、(k/d)n,从而（m/d）
8、n。但显然有(am）=e,(am）(k/d)=(ak）(m/d)=e,所以定理6有n
9、（m/d）
10、故n=（m/d）定理7若群的元素a和b的阶分别为n和m，当（m,n）=1且a*b=b*a时，则元素a*b的阶为mn。(需要证明)。证明：设元素a*b的阶为r,因为（a*b）mn=(an)m*(bm)n=em*en=e所以r
11、mn反过来，根据定义有（a*b）r=e，两边同取n次幂，有（（a*b）r）n=arn*brn=brn=e,所以m
12、rn,由（m,n）=1得m
13、r同理，可得n
14、r，又由（m,n）=1，得mn
15、r故r=mn定理8若群是有限交换群，n是G中的元素最大的阶，则G中的任意元素的阶一定能够整除n，即是n的正因子（最好证明）.
16、3.3子群定义14设是群，S是G的非空子集，若是群，则称为的子群。显然，<{e}，*>和是的子群，称其为平凡子群。的其余子群称为真子群。子群的阶是群G的阶数的因子。例在群中，取H＝{3k
17、k∈Z}，则是的子群。例群G为，考虑Z12的子集{0,3,6,9}和{0,1,2,3}是否能为G的子群？子群判定定理：定理9若是群，H是G的非空子集，则是的子群对任意的a、b∈H，有a*b∈H且a－1∈H。定理10若18、>是群，H是G的非空子集，则是的子群对任意的a、b∈H有a*b－1∈H。定理11若是群，H是的G非空有限子集，则是的子群对任意的a、b∈H有a*b∈H。(验证上例)4循环群在群中，对于所有的a∈G，常将n个a的*运算a*a*a*a*a*……*a*a=an称为a的n次乘幂(3.2节中的描述)。当*是通常乘法时，与通常的乘幂的意义一样。但当*是加法时，将an常改记为na。注意a-n=(a-1)n,-na=n(-a)定义15在群中，g∈G，e为单位元，那么若k∈Z使得G={e=g0,g
19、1,…,gn-1
20、gn=e}，则称为由g生成的n阶循环群，g称为G的生成元，记为G＝。由定义可知，由封闭性知群的任何元素的任何乘幂都是群的元素，由这些乘幂构成的集合在*运算下构成的子群！（考虑有限群的情况，考虑有限群的阶是素数的情况。）循环群根据其生成元的阶分为有限循环群和无限循环群。例：整数加群是无限阶循环群。在加法下，乘幂an改记为na，即n个a的“+”运算a+a+a+a+a+……+a+a=na的生成元是1和-1，Z=<1>=<-1>a+a+a+a+a+……+a+a=na例：求生成
21、元。是4阶循环群，Z4={0,1,2,3}[1]=[1]=1[1],[2]=[1]
