如何用matlab计算定积分.pdf

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1、用matlab计算积分4．1积分的有关理论f(x)[a,b]定积分：积分是微分的无限和，函数在区间上的积分定义为nbI=òf(x)dx=limåf(xi)Dxiamax(Dxi)®0i=1其中a=x

2、)=f(x),xÎ[a,b]，则有bòf(x)dx=F(b)-F(a)af(x)这个公式表明导数与积分是一对互逆运算，它也提供了求积分的解析方法：为了求的F(x)F(x)f(x)F(x)f(x)定积分，需要找到一个函数，使的导数正好是，我们称是的原函数或不定积分。不定积分的求法有学多数学技巧，常用的有换元积分和分部积分法。从理论上讲，可积函数的原函数总是存在的，但很多被积函数的原函数不能用初等函数表示，也就是说这些积分不能用解析方法求解，需用数值积分法解决。在应用问题中，常常是利用微分进行分析，而问题最终归结为微分的和（即积分）。一些更复杂的问题是

3、含微分的方程，不能直接积分求解。多元函数的积分称为多重积分。二重积分的定义为òòf(x,y)dxdy=lim22ååf(xi,hj)DxiDyjmax(Dxi+Dyi)®0ijGf(x,y)当非负时，积分值表示曲顶柱体的体积。二重积分的计算主要是转换为两次单积分来解决，无论是解析方法还是数值方法，如何实现这种转换，是解决问题的关键。4．2积分的数值方法梯形法：将[a,b]划分为若干小区间a=x0

4、x-xii-1f(x)dx»(f(x)+f(x))òi-1ixi-12从而nx-xii-1I»å(f(xi-1)+f(xi))i=12b-ah=,x=a+ih[a,b]ni称为梯形公式。通常将区间等分，n，n-1f(b)+f(a)I»Tn=h(+åf(xi-1))2i=1可以证明，当n®¥时由上述公式给出的梯形法是收敛的。重积分：重积分的数值计算可通过若干次单积分的组合实现，如对于二重积分I=òòf(x,y)dxdyG先化为二次计分bd(x)I=òdxòf(x,y)dyac(x)b-ah=,x=a+ih,i=0,1,,m.[a,b]xix利用梯形

5、法，先将区间m等分，m利用梯形积分公式可得m-11d(xi)I»hx((G(a)+G(b))+åG(xi)),G(xi)=òf(xi,y)dy.2c(xi)i=1d(x)-c(x)iih(i)=,y=a+jh(i),j=0,1,,n.[c(x),d(x)]yijy再将ii区间n等分，n利用梯形积分公式可得n-11G(xi)»hy(i)((f(xi,c(xi))+f(xi,d(xi)))+åf(xi,yij)).2j=14．3积分的MATLAB命令MATLAB中主要用int进行符号积分，用trapz,dblquad,quad,quad8等进行数值积

6、分。R=int(s,v)%对符号表达式s中指定的符号变量v计算不定积分.表达式R只是表达式函数s的一个原函数,后面没有带任意常数C.R=int(s)%对符号表达式s中确定的符号变量计算计算不定积分.R=int(s,a,b)%符号表达式s的定积分，a,b分别为积分的上、下限R=int(s,x,a,b)%符号表达式s关于变量x的定积分，a,b分别为积分的上、下限trapz(x,y)梯形积分法，x时表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z返回积分值。fblquad(‘fun’,a,b,c,d)矩形区域二重数值积分，fun表示被积函

7、数的M函数名，a,b分别为x的上、下限，c,d分别为y的上、下限.可以用helpint,helptrapz,helpquad等查阅有关这些命令的详细信息2òxsinxdx例1用符号积分命令int计算积分.MATLAB代码为：>>clear;symsx;>>int(x^2*sin(x))结果为ans=-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)如果用微分命令diff验证积分正确性，MATLAB代码为：>>clear;symsx;>>diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x))结果为ans=x^2*sin

8、(x)24òxdx例2计算数值积分-2.24ò-xdx先用梯形积分法命令trapz计算积分2，MATLAB代码为：>>cl