大学高等数学11 一元函数课件.ppt

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1、第一章高等数学的基础函数极限—研究的对象—研究的方法一元函数第一节一元函数二、函数的概念及图形四、反函数与复合函数五、函数的运算六、基本初等函数三、函数可能具有的几种特性第一章七、初等函数一、实数集邻域一、实数集邻域集合的定义集合的运算并，交，差实数集邻域二、函数的概念及图形1.函数的概念定义1设数集则称映射为定义在D上的一元函数,记为x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,f(D)称为值域.函数图形:称点集为函数f的图形.定义域值域对应法则注1º函数的二要素定义域D对应法则fRf对应法则f自变量因变量例1下列各组函数是否相同？(1)答：不同,

2、因为二者定义域不同.前者的定义域为(2)而后者的定义域为答：不同,因为二者的对应法则不同.注xyO答：相同.(3)两个函数是否相同，仅取决与D和f，而与f的表达形式无关，也与变量的记号无关!2°定义域：使表达式及实际问题都有意义的自变量所能取得的一切实数值所组成的集合.例2解3°函数的表示方法:解析法、图象法、列表法.1-1xyo(1)符号函数2.几个特殊的函数举例(2)绝对值函数xyO(3)取整函数y=[x],xR阶梯曲线[x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyO3421有理数点无理数点•1xyo(4)狄利

3、克雷函数(5)数列数列也是一类函数,它的定义域是全体正整数它的图形是平面上的一些孤构成的集合立点的集合.三、函数可能具有的几种特性设函数又数集1.有界性则称在X上有界.为有界函数.M-MyxOy=f(x)X有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,则当为奇函数时,2.奇偶性yxOx-x偶函数的图形关于y轴对称奇函数的图形关于原点对称例4证令则由消去得显然又故为奇函数.且证明时其中为常数,且为奇函数.设在I上单调减少.当时,称在I上单调增加；称单调增加或单调减少的函数统称为单调函数.3.单调性注函数单调与否同所论区间

4、有关.4.周期性且则称为周期函数,若称T为周期.周期为周期为(通常说周期函数的周期是指其最小正周期).例如:①常量函数②狄里克雷函数x为有理数,x为无理数;注并非任何一个周期函数都有最小正周期.每一个正数都是其周期.每一个正有理数都是其周期.这两个函数均无最小正周期!例5设函数的图形关于均对称,求证是周期函数.证由的对称性知于是故是周期函数,周期为xyOab四、反函数与复合函数1.反函数的定义及性质定义若函数是一一映射,则存在其使其中称此映射为f的反函数.逆映射习惯上,的反函数记成例如,函数其反函数为性质:(1)函数与其反函数的图形关于直线对称

5、.其反函数(减)(减).(2)单调递增也单调递增例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数xyO例6解分段函数的反函数应当逐段求：解得反函数为解得反函数为又对于直接函数y=x3来说其值域为[1,8]，故反函数的定义域为[1,8];x[1,8];解得反函数为综上所述，所求反函数为2.复合函数则当由上述函数链可定义由D到Y的设有函数链记作复合函数,时,或注1°并非任何两个函数都能构成复合函数，函数的复合是有条件的.条件：如：Ou-112解故例7设函数的定义域分别为为实数.则定义两个函数和:差:积:商:线性组合:五、函数

6、的运算的运算如下:七、初等函数统称为基本初等函数.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数由常数及基本初等函数称为初等函数.否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,可表为故为初等函数.六、基本初等函数为奇函数(1)双曲正弦记1.双曲函数(2)双曲余弦为偶函数记工程中常用的一类初等函数:为奇函数(3)双曲正切记内容小结定义域对应规律2.函数的特性有界性,奇偶性,单调性,周期性3.初等函数的结构1.函数的定义及函数的二要素例3-1已知函数求及解函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域=例4-1证

7、明设f(x)是定义在(-a,a)内的任意函数，证明（1）f(x)+f(-x)是偶函数；（2）f(x)-f(-x)是奇函数；（3）f(x)总可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和.(1)令F(x)=f(x)+f(-x),因为在对称区间(a,-a)内，有F(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=F(x),所以，F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数.(2)令F(x)=f(x)-f(-x),所以,F(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.(3)作以上两个函数的线形组合,可得f(x)=即f(x)表示一个偶函数与一个奇函数之和.F(-x)=f(-

8、x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-F(x),例6-1求的反函数及其定义域.解当时,则当时,则当时,则反函数定义域为令则故解例