北交大2010-2011学年第二学期数理统计学期末考试试卷(B卷)答案.doc

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1、北京交通大学2010~2011学年第二学期数理统计学期末考试试卷（B卷）答案一．（本题满分10分）设总体存在二阶矩，记，，是从该总体中抽取的一个样本，是其样本均值，是其样本方差．⑴证明：，．⑵证明：．解：⑴，．⑵．二．（本题满分10分）设总体服从参数为的几何分布，其分布列为．其中是未知参数，．是取自该总体中的一个样本．试求参数的极大似然估计量．解：似然函数为所以，．对求导，得，解方程，得．因此的极大似然估计量为．三．（本题满分10分）设总体服从区间上的均匀分布，其中是未知参数，是从该总体中抽取的一个样本．⑴试判断是否为未知参数的无偏估计量？⑵试判断是否为未知参数的相合估计

2、量？解：的密度函数与分布函数分别为，．所以的密度函数为．所以，所以，是未知参数的无偏估计量．又所以，由Chebyshev不等式，对任意给定的，有，．所以，对任意给定的，有．这表明，是未知参数的相合估计量．四．（本题满分10分）设总体，其中与都未知，，，是取自该总体中的一个样本．对于给定的显著性水平，试求检验假设．的拒绝域．解：取检验统计量．当成立，且时，．当原假设成立时，由观测值可知比值应当大于1，因此比值应当比较大；反之，如果我们通过样本观测值，发现偏小，自然就有理由认为不成立．于是，拒绝域可以取作形如．对给定的显著性水平，当成立，并且时，由，故取临界值．即有，对任意成

3、立．因此，我们得到当时，显著性水平下的一个检验的拒绝域．当原假设成立，且时，有．而且当原假设成立，且总体为时，有，所以此时有，，对任意成立．因此原假设的拒绝域为．五．（本题满分10分）检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7份样品，测得含镍量百分比分别为：假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在显著性水平下检验这批矿砂中的含镍量的百分比是否为．解：设表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则．由于总体方差未知，故用检验统计量当成立时，．由于显著性水平，，所以．因此检验的拒绝域为由样本观测值，得，所以，所以，不拒绝，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为．六．（本题满分10分）设总

4、体的密度函数为其中是已知常数，而是未知参数．是取自该总体中的一个样本．试给出未知参数的一个充分统计量．证明：样本的联合密度函数为令，，则并且与未知参数无关，因此由因子分解定理知，是未知参数的充分统计量．七．（本题满分10分）一试验用来比较4种不同药品解除外科手术后疼痛的延续时间（单位：小时），结果如下表：药品时间长度（单位：小时）86426644810101012442假定各种疼痛的延续时间服从正态分布，而且方差相等，试在显著性水平下检验这4种不同药品解除外科手术后的疼痛时间是否有显著性影响．解：：4种不同药品解除外科手术后的疼痛时间无显著性差异．试号药品差别材料种类14

5、20400100120242040010010435502500500508431010033.333336总和161003400733.3333768所以有，，．八．（本题满分10分）随机地检查一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为错误个数0123456含个错误的页数36401920210试在显著性水平下，能否认为一页的印刷错误的个数服从Poisson分布？解：：一页的印刷错误的个数服从Poisson分布．的极大似然估计值为选取统计量，则当时，．，．因此，我们有，，，，，，，．计算结果列下表：：360.016876613：400.280453375：190

6、.019966863：28.03013981.14341063：0：2：1：0总计1001.46070748本题中，，，所以，．所以检验的拒绝域为．由观测值，得，所以不拒绝，可以认为一页的印刷错误的个数服从Poisson分布．九．（本题满分10分）为考察促进剂与氧化锌对橡胶定伸强力的影响，选用3种不同的促进剂和4种不同分量的氧化锌组合配方，同样的配方重复试验2次，测得300%的定伸强力如下表：氧化锌促进剂313334363536393833343637373938413537373839404244试在显著性水平检验不同的促进剂，不同分量的氧化锌以及他们的交互作用对橡胶定

7、伸强力是否有显著性影响？解：：不同的促进剂对橡胶定伸强力无显著性影响；：不同分量的氧化锌对橡胶定伸强力无显著性影响；：促进剂与氧化锌对橡胶定伸强力无显著性影响．令，得新数据表为-4（16）-2（4）-1（1）1（1）0（0）1（1）4（16）3（9）-2（4）-1（1）1（1）2（4）2（4）4（16）3（9）6（36）0（0）2（4）2（4）3（9）4（16）5（25）7（49）9（81）表2-4-2-11014324-2-11224361522502234579321024-781632491253496425610241