数列与函数的极限公式概念.doc

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1、极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{}，如果当n无限增大时，其通项无限趋过于某个常数A，则称数列{}以A为极限，记作：=A或者(n)2、当数列{}以实数A为极限时，称数列{}收敛于A，否则称数列{}发散。二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若=a，则=a2)有界性：收敛数列必有界.（数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列：则它的极限为3即：三、几个需要记忆的常用数列的极限四、运算法则：如果则：二、函数极限：▪函数极限=A的充分必要条件是==A▪函数极限=A的充分必要条件是=

2、=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关.即=▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当（或）时有极限，则其极限惟一.▪极限运算法则：设limf(x)=A,limg(x)=B,则1)lim[f(x)]=AB2)lim[f(x)g(x)]=AB3)当B时，lim=4)lim[cf(x)]=climf(x)(c为常数)5）lim[f(x)=[limf(x)(k为常数)▪小结：当,时，有=▪复合函数运算法则：=▪数列的夹逼准则：设有3个数列{}{}{},满足条件：1）（n=1,2,…）；2）==a，则数列{}收

3、敛，且=a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点的某去心邻域内有定义，且满足条件：1）g(x)f(x)h(x);2)=A,.则极限存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪两个重要的极限：▪重要极限Ⅰ：=1▪重要极限Ⅱ：(1+=e,(1+x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小.2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小.3)常量与无穷小的乘积为无穷小.4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小.5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量

4、变化过程中limf(x)=A的充要条件是f(x)=A+(x).其中(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设=(x)，=都是自变量同一变化过程中的无穷小.1.若lim=c(c,是常数)，则称与是同阶无穷小.2.若lim=1，则称与是等价无穷小，记作~.3.若lim=0，则称与是高阶无穷小，记作=o()4.若lim=c(c,k是正整数),则称与是k阶无穷小.5.~的充要条件为-是(或)的高阶无穷小,即6.,,,,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且~,,lim存在，则有lim=lim▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因

5、子可用等价无穷小替换，加、减的不能]x时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~;1-cosx~；(1+x-1~ax(a);-1~xlna(a0,a);-1~常用等价无穷小：当变量时，-1~．▪无穷大：函数无穷大无界x时，若f(x)为无穷大，则为无穷小；x时，若f(x)为无穷小，且在的某去心邻域内f(x),则为无穷大.[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.如果f(x)是初等函数，是其定义区间内的点，

6、则=f().最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)f(b))，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=0求极限：洛必达法则：1、0/0型：方法：将分子分母

7、分解因式（消去公因子）或者将分子有理化（有理化），再求极限。1、方法：将分子分母同时除以自变量的最高次幂。